La parábola siempre pasa por dos puntos.

Question

Necesito trazar una parábola a través de dos puntos, pero también necesito poder cambiar el ancho de la parábola. En más detalles, digamos que tengo la parábola:

$f ( x ) = - \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { W } + 1$

Y sin importar qué valor tenga $W$ definido, quiero que mi parábola pase por los puntos (0,0) y (1,1), lo cual solo sucede en caso de que $W=1$.

Supongo que necesito rotar la parábola o mover toda la parábola de alguna forma. Pero no sé cómo hacerlo.

Mi objetivo es incrementar $W$ hasta el infinito para obtener una línea recta (casi recta) a través de los puntos mencionados. Y en el futuro, por supuesto, quiero poder manipular esos puntos.

Por cualquier ayuda, gracias de antemano.

Answer 1

Simplemente puedes configurar un sistema de ecuaciones en forma cuadrática:

$$y=ax^2+bx+c$$

Entonces, al sustituir $x$ y $y$ en tus puntos $(0,0)$ y $(1,1)$, obtienes dos ecuaciones:

$$0=a(0)^2+b(0)+c$$ $$1=a(1)^2+b(1)+c$$

Las ecuaciones se simplifican a:

$$c=0$$ $$1=a+b$$

Entonces, el valor de $c$ en tu ecuación cuadrática siempre será 0. $a$ representa el "ancho" de la parábola. Mientras más bajo sea el valor, más ancha será, mientras que a mayor valor, más estrecha será. Solo recuerda que sea cual sea el valor que elijas para $a$, debes elegir $b$ de forma que $a+b=1$ como se ve en la segunda ecuación.

Para obtener la ecuación en términos de $W$, simplemente completa el cuadrado y manipula la forma cuadrática estándar (nota que $c$ es $0$, por lo que excluimos $c$):

$$y=ax^2+bx$$ $$y=a\Big(x^2+\frac{b}{a}x\Big)$$ $$y=a\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2-\frac{b^2}{4a}$$

Ahora, dado que $a+b=1$, entonces $b=1-a$:

$$y=a\Big(x+\frac{1-a}{2a}\Big)^2-\frac{(1-a)^2}{4a}$$

Ahora, simplemente define $W=\frac{1}{a}$ y la ecuación cambiará a:

$$y=\frac{\big(x+\frac{W-1}{2}\big)^2}{W}-\frac{(W-1)^2}{4W}$$

Luego, combina las dos fracciones en una y expande el exponente:

$$y=\frac{4\Big(x^2+(W-1)x+\frac{(W-1)^2}{4}\Big)-(W-1)^2}{4W}$$ $$y=\frac{4x^2+4(W-1)x}{4W}$$ $$y=\frac{x^2+(W-1)x}{W}$$ $$y=\frac{x^2}{W}+\frac{(W-1)}{W}x$$

¡Y eso es todo! Hemos derivado la ecuación en términos de $W$. Ahora, simplemente para cambiar el ancho de la parábola, cambias $W$. A mayor valor de $W$, más ancha será la parábola; a menor valor de $W$, más estrecha será la parábola (lo opuesto de lo que sucede si cambias $a$ porque definimos $W=\frac{1}{a}$). La parábola estará centrada en los puntos $(0,0)$ y $(1,1)$ como se espera.

También, observa lo que sucede cuando aumentas $W$ hasta el infinito. Con un análisis adicional, y tomando $\lim_{W\to\infty} y$, puedes ver que la ecuación lentamente se convierte en la línea $y=x$, ¡exactamente lo que predijiste y querías!

Nota: Si alguna vez necesitas tres puntos en lugar de dos, no podrás cambiar el ancho de la parábola porque tres puntos describen exactamente una parábola. Con dos puntos tienes infinitas parábolas, de ahí la capacidad de cambiar el ancho.

---

EDITAR: Respondí rápidamente, y ahora me di cuenta de que ¡no tienes que completar el cuadrado en absoluto! Simplemente necesitas empezar con:

$$y=ax^2+bx$$

Luego solo sustituye $b=1-a$, y luego $a=\frac{1}{W}$:

$$y=ax^2+(1-a)x$$ $$y=\frac{x^2}{W}+\Big(1-\frac{1}{W}\Big)x$$ $$y=\frac{x^2}{W}+\frac{(W-1)}{W}x$$

Disculpas por complicarlo más de lo que debería ser.

Answer 2

Creo que $$ f(x) = \frac{x(x-1)}{W} + x $$ hará lo que deseas.

Para un gran $W$, esto será casi recto entre los dos puntos que especificaste. Para valores muy grandes de $x$ (positivos o negativos), crecerá sin límite.

(Esto es lo que sucede si completas el álgebra que @KKZiomek comenzó.)