Subconjunto denso de dos espacios de Banach también denso en la intersección

Question

Mi pregunta es:

Deje $ V $ ser un espacio vectorial (sobre $ \mathbb K\in\{\mathbb{R}, \mathbb{C}\} $), $ X,Y\subseteq V $ dos subespacios equipados con las normas de $ \|\cdot\|_X, \|\cdot\|_Y $ tal que $ (X,\|\cdot\|_X) $ e $(Y,\|\cdot\|_Y)$ son espacios de Banach y $ D\subseteq X\cap Y$. Si $ D $ es denso en $ (X,\|\cdot\|_X) $ e $(Y,\|\cdot\|_Y)$, $ D $ también denso en $ X\cap Y $ equipado con $ \|\cdot\|:=\|\cdot\|_X + \|\cdot\|_Y $?

A primera vista, parece muy claro para mí que esto debe ser así. Pero yo aún no responder a la siguiente (posiblemente) más fácil pregunta:

Deje $ X $ ser un espacio vectorial sobre $ \mathbb K $ equipado con dos normas $ \|\cdot\|_1, \|\cdot\|_2 $ tal que $ (X,\|\cdot\|_1) $ e $(X,\|\cdot\|_1)$ son espacios de Banach y $ D\subseteq X$. Si $ D $ es denso en $ (X,\|\cdot\|_1) $ e $(X,\|\cdot\|_2)$, $ D $ también denso en $ X $ equipado con $ \|\cdot\|:=\|\cdot\|_1 + \|\cdot\|_2 $?

La respuesta es sí, si $ \|\cdot\|_1, \|\cdot\|_2 $ son equivalentes, así que traté de pensar acerca de un contraejemplo utilizando nonequivalent normas en un espacio específico y también he encontrado un buen artículo sobre nonisomorphic completa de las normas (https://www.researchgate.net/publication/226200984_Equivalent_complete_norms_and_positivity) pero no, no me ayudó hasta ahora para construir algo útil para mi pregunta.

Gracias por su ayuda!

Answer 1

Tengo una respuesta negativa para su "más fácil", basado en la construcción de https://mathoverflow.net/a/184471.

Deje $X_1 := (X, \|\cdot\|_1)$ ser un infinito dimensional espacio de Banach y deje $\varphi$ ser una desenfrenada lineal funcional en $X_1$. Reparamos $y \in X$ con $\varphi(y) = 1$ y definir $$ S x := x - 2 \, \varphi(x) \, y.$$ Es fácil comprobar que $S^2 x := S S x = x$. La norma $$ \|x \|_2 := \| S x\|_1$$ da lugar a la normativa del espacio $X_2 := (X, \|\cdot\|_2)$. Desde $S :X_2 \to X_1$ es un isomorfismo isométrico (por definición), $X_2$ es completa.

De $\varphi(x) = -\varphi(Sx)$ uno puede comprobar que $\varphi$ es también ilimitada en $X_2$. De hecho, nos encontramos con $x_n \in X$ con $\varphi(x_n) \ge n$ e $\|x_n\|_1=1$. Por lo tanto, $\varphi( S x_n) \ge n$ e $\|S x_n\|_2 = \|x_n\|_1 = 1$.

Por lo tanto, el núcleo de $\varphi$ es denso en $X_1$ e $X_2$.

Sin embargo, podemos comprobar que $\varphi$ está delimitado w.r.t. $\|\cdot\|=\|\cdot\|_1+\|\cdot\|_2$: $$ 2 \, \|s\|_1 \, |\varphi(x)| = \| 2 \, \varphi(x) \, y \|_1 \le \|x\|_1 + \| x - 2 \, \varphi(x) \, y \|_1 = \|x\|_1 + \| S x\|_1 = \|x\|.$$ Por lo tanto, el núcleo de $\varphi$ es cerrado y por lo tanto no densa w.r.t. la norma $\|\cdot\|$ en $X$.

Me imagino que tu pregunta original también sería interesante si tenemos que añadir el siguiente (razonable) supuesto: si $\{z_n\} \subset X \cap Y$ satisface $z_n \to x$ en $X$ e $z_n \to y$ en $Y$ a continuación, $x = y$. Tenga en cuenta que esto no es satisfecho en mi contraejemplo.