¿Por qué no dimensionalizamos la ecuación de Schrödinger cuando resolvemos el oscilador armónico cuántico?

Question

He leído acerca de cómo resolver la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico cuántico en una dimensión. Todo comenzó con la ecuación de Schrödinger, $$ \frac{p^2}{2m}\psi(x, t)+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi(x, t)=\hat{E}\psi(x, t) $$ Tiene sentido para mí; que se parece a la conservación de la energía. Poner las ecuaciones diferenciales para el impulso del operador, $$ \frac{-\manejadores^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x, t)+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi(x, t)=\hat{E}\psi(x, t) $$ Entonces ellos tratan de quitar las dimensiones de la ecuación, por lo que sustituyen $\hat{E}$ con una adimensional $\epsilon$ , de alguna manera, y divide el conjunto de la expresión por $\hbar$. A continuación, empezar una juerga de confundir a las sustituciones que matemáticamente son precisas, pero parecen no tener significado físico. No entiendo por qué hacemos nada de eso. Lo que está mal con sólo quedarse con esas ecuaciones diferenciales y a la espera de los números a los que puedes conectar y resolver/integrar?

Que fuente dijo que ellos están tratando de simplificar esta ecuación, porque es muy complicado y difícil de resolver, pero si sólo sustituir y cancelar los términos y condiciones, usted no añadir ninguna nueva información. Así que si no estamos agregando información a las ecuaciones, entonces ¿cuál es el punto de la realización de estos al azar en busca de sustituciones? Yo no veo ninguna importancia de expresar la energía con ninguna de las dimensiones.

Answer 1

Así que si no estamos agregando información a las ecuaciones, entonces ¿cuál es el punto de la realización de estos al azar en busca de sustituciones?

Esas sustituciones son bastante útiles. No, debido a la adición de nueva información (como usted ha mencionado, no aprendemos nada que no sabíamos antes), pero debido a la forma en que nos permiten ver lo que ya tenemos. También te permiten globo ocular el sistema, como me gusta llamarlo, que esencialmente significa que usted puede adivinar mucho más sin tener que recurrir a herramientas computacionales.

Esencialmente, después de hacer estas sustituciones,

1. Usted puede fácilmente pensar en qué pasaría si el cambio de las proporciones entre los valores de entrada (esto es una ventaja general de nondimensionalization)

2. Usted puede 'adivinar' posibles soluciones fácilmente

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He aquí una explicación:

No ir a través de las sustituciones, así que aquí está un breve resumen del proceso de resolución. Puede comprobar cada etapa para asegurarse de que usted vea lo que sucede exactamente a las dimensiones de la ecuación. Empezar con la ecuación de Schrödinger, $$\left(\frac{P^2}{2m}+\frac{1}{2}\omega^2x^2\right)\psi(x, t)=E\psi(x, t)$$ (Tenga en cuenta que el lado izquierdo es el de Hamilton, $\mathcal{H}=T+V=\left(\frac{P^2}{2m}+\frac{1}{2}\omega^2x^2\right)$, y todo esto es claramente dimensionalmente correcta)

Usted está familiarizado con el concepto de no-dimensionalizing, así que voy a brincar los que: tome $\epsilon=\frac{E}{\hbar\omega}$, y después de la ampliación de su impulso operador y esas cosas) $$\frac{m\omega}{2\hbar}x^2\psi(x, t)-\frac{\hbar}{2m\omega}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x, t)=\epsilon\psi(x, t)$$ Right now, there's no obvious difference between this equation and the original with $E$ in it: although it looks a bit cleaner, there's nothing trivially obvious when you look at it. So let's try another pair of substitutions, $x=\alpha u$ and $\alpha=\sqrt{\frac{\manejadores}{m\omega}}$. Most books show these substitutions made one after the other, with expansions of the equation at each stage, but since the question says that they're already mathematically self-explanatory, I'll skip through to the result of applying those substitutions and simplifying stuff. You get this magically clean expression, $$u^2\psi(x, t)-\frac{\partial^2}{\partial u^2}\psi(x, t)=2\epsilon\psi(x, t)$$ O, si puedo ser un poco más flexibles con la notación, $$-\psi''+u^2\psi=2\epsilon\psi$$ and $$\psi''=(u^2-2\epsilon)\psi$$

Esta es, obviamente, muy fáciles de resolver en ciertas condiciones. Podemos adivinar lo que sucede si $u\rightarrow\infty$: $\epsilon$términos relacionados con convertirse en despreciablemente pequeña, así que solucionar $\psi''=u^2\psi$. Y eso es bastante fácil de adivinar; los resultados están a lo largo de las líneas de $\psi=Au^ke^{u^2/2}$. Claramente que no es algo que se podría lograr si usted no ha $u$ en la imagen, y si no se había introducido $\epsilon$, habría sido pegajosa para averiguar exactamente qué términos se aproximan a cero. Un proceso similar puede ser seguido a la aproximación de soluciones para $u\rightarrow 0$.

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La siguiente ventaja obvia de la eliminación de las unidades es la limpieza y la generalidad de los cálculos para los diferentes órdenes de magnitud. Es una técnica común para asumir todas las otras unidades en un sistema de valores que $\hbar=1$ e $c=1$. Hace un montón de cálculos más fácil. En este caso, estamos ajuste de las unidades de energía ($E$) como $\hbar\omega$ (sólo para comprobar, $\hbar$ tiene unidades de actuación, $[E\ T]$ (estoy usando una anormales $[E]$ de la energía), y $\omega$ es la frecuencia, $[T^{-1}]$). Estamos también la ampliación de la longitud de a $\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}$. Además, mediante la configuración de estos valores, es fácil hacer conjeturas intuitivas acerca de la magnitud del problema (esto es más una ventaja general de extracción dimensiones, y no es muy específico para el oscilador armónico cuántico). Esto hace que sea fácil de utilizar la misma ecuación para sistemas con diferentes órdenes de magnitud (por ejemplo, situaciones en las que la amplitud de la $u$ es muy pequeño y situaciones en que es enorme), sin perder la comprensión y el "sentimiento" de lo que está pasando.

Answer 2

En el problema concreto, y dada la ubicuidad del oscilador armónico, va a adimensional variables significa que usted puede utilizar la misma solución para un gran número de problemas, y recuperar la solución específica que usted necesita, simplemente ajustando los diferentes escalas.

De manera más general, hay una serie de buenas razones para ello. Primero, encontrar "natural" de las unidades suelen dar una idea de las diferentes escalas de un problema. Segundo, el uso de estas unidades naturales generalmente se limpia las ecuaciones resultantes. Como una tercera pero la razón menos importante, el uso de un sistema de "natural" unidades donde los números de no pequeño o grande es computacionalmente muy ventajoso.

Considere la posibilidad de la parte radial $\chi(r)=r R(r)$ de la Schrödinger la ecuación para el átomo de hidrógeno. Es la solución a la ecuación diferencial

$$ -\frac{\manejadores^2}{2m} \frac{d^{2}}{dr ^{2}}\chi (r )+ \left(-\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}+ \frac{\manejadores^2}{2m}\frac{\ell(\ell+1)}{r ^{2}}\right)\chi (r ) =E\chi(r) \etiqueta{1} $$ donde $m$ es la masa del electrón, $\hbar$ es la reducción de la constante de Planck, $E$ es la energía asociada a $\chi(r)$, e $\ell$ es un número entero.

Introducir el radio de Bohr como una unidad de longitud, que se define como \begin{equation} a_{0}=\frac{4\pi^{2}\hbar^{2}\epsilon_0}{\pi me^{2}}=\frac{4\pi\hbar ^{2}\epsilon_{0}}{me^{2}}, \end{equation} y la cantidad adimensional $\rho = r/a_{0}$.

Reescribir el potencial de Coulomb en términos de la variable adimensional $\rho$, obtenemos $$ V(r)=-\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}=-\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}} \frac{me^{2}}{(4\pi \epsilon _{0})\manejadores ^{2}}\frac{1}{\rho } =-\frac{me^{4}}{(4\pi\epsilon _{0})^{2}\manejadores ^{4}} \frac{1}{\rho}=V(\rho). $$ Realizar la sustitución de $r$ a $\rho$,transforma la ecuación diferencial en $$ \frac{-me^{4}}{2(4\pi \epsilon _{o})^{2}\manejadores ^{2}} \frac{d^{2}}{d\rho ^{2}}\chi (\rho ) +\left[ -\frac{me^{4}}{(4\pi\epsilon _{o})^{2}\manejadores ^{4}\rho} +\frac{me^{4}}{2(4\pi \epsilon_{o})^{2}\manejadores ^{2}} \frac{\ell(\ell+1)}{\rho ^{2}}\right] \chi (\rho ) =E\chi(\rho ). $$ La energía de Bohr $$ \bar E=\frac{me^{4}}{2(4\pi \epsilon _{o})^{2}\manejadores ^{2}}% \aprox 13.6 eV ~\sim 2.2\times 10^{-18}J $$ es una elección obvia para una escala de la energía.

Dividiendo por este a lo largo de los rendimientos de la expresión mucho más limpio $$ -\frac{d^{2}}{d\rho ^{2}}\chi (\rho )+\left[-\frac{2}{\rho } +\frac{\ell(\ell+1)}{\rho ^{2}}\right] \chi (\rho )=\frac{E}{\bar E}\, \chi (\rho ) $$ exclusivamente en términos de las variables adimensionales $$ \bar{V}(\rho )=\frac{V(\rho )}{\bar{E}}=-\frac{2}{\rho},\quad\nu =-\frac{E}{\bar{E}} . $$

Esto ilustra que, simplemente por ir a adimensional coordenadas, tenemos un sentido de las energías involucradas en la física atómica: no MeVs o GeVs, acaba de eVs. Por otra parte, los tamaños en física atómica son por lo general del tamaño del radio de Bohr, es decir, $\sim 10^{-11}m$. Nunca debemos manipular pequeñas cantidades, como $10^{-18}J$ o $10^{-11}m$.

Además de ser limpio, de esta forma también es susceptible a la solución de la computadora: sólo los equipos de trabajo con cantidades adimensionales, en el sentido de que no importa lo que la elección de las unidades.

Answer 3

Hay dos razones básicas:

• Proporciona un importante físico de conocimiento acerca de la característica de las dimensiones del sistema, y cómo aquellos que dependen de los parámetros de partida.
• Elimina notacional desorden, haciendo que la ecuación más fácil de manejar.

Como nota, de dimensionalizing una ecuación diferencial no cambia en lo fundamental, y no por arte de magia la hacen más solucionable. Todos los cambios son cosméticos, sino cambios cosméticos todavía la materia; somos seres humanos con limitados cerebros de mono y sencillo notación hace por un tiempo más fácil.

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La razón más importante, sin embargo, es que usted haga obtener importantes conocimientos físicos del proceso. El tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger para el problema, $$ \frac{-\manejadores^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x)+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi(x) = E \psi(x), $$ tiene tres dimensionful parámetros, $m$, $\omega$ e $\hbar$, y si tiene tres dimensionful parámetros que cubre un espacio tridimensional de cantidades (es decir, $[m]=[M]$, $[\omega]=[T^{-1}]$ e $[\hbar]=[M\:L^2\:T^{-1}]$ todos son algebraicamente independientes), entonces usted tiene un sistema rígido, en el sentido de la Pi de Buckingham teorema: cualquiera de las dos copias del problema va a compartir el mismo comportamiento, y que va a ser idéntico a un re-escalado.

(Por otro lado, si se agrega un cuarto parámetro dentro de un espacio tridimensional, como por ejemplo, una cuártica plazo $\frac14\alpha x^4$, entonces usted tendrá un restante de la 'forma' del parámetro, y no todas las copias del sistema isomorfo comportamiento. Pero estoy divagando.)

Aquí, por otra parte, el hecho de que usted tiene tres parámetros le permite de forma unívocamente determinada característica de las cantidades de todas las dimensiones físicas, incluyendo, en particular,

• una longitud característica, $\sqrt{\hbar/m\omega}$,
• una característica impulso, $\sqrt{\hbar m \omega}$,
• una característica de la energía, $\hbar\omega$,

y a través de ellos de cualquier otra dimensión. Esto significa que, cuando hacemos las sustituciones de variables \begin{align} x & = \sqrt{\hbar/m\omega} \ \xi \\ p & = \sqrt{\hbar m\omega} \ \pi \\ E & = \hbar\omega \ \epsilon, \end{align} lo que estamos haciendo es la identificación de un único canónica copia del problema, $$ -\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\parcial \xi^2}\psi(\xi)+\frac{1}{2}\xi^2\psi(\xi) = \epsilon \psi(x), $$ junto con la canónica de re-escalamiento, que le dice lo que la duración y la energía de las escalas para el problema.

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Y, una vez que se tiene la ecuación en una forma sin extraños parámetros y el único libre de manejar es el de-dimensionalized energía $\epsilon$, se vuelve mucho más claro que los parámetros de la materia y las que no (o, más bien, los parámetros que no han sido transportado). La resultante de la ecuación diferencial es matemáticamente equivalente a la que usted empezó, pero le he quitado el desorden y eso hace que sea más fácil trabajar con, en particular, cuando se vaya a incluir esto como parte de un sistema mayor.

Answer 4

Ya hay muy buenas respuestas para abordar sus concreto de la ecuación diferencial. Me gustaría referirme a la declaración de

pero si sólo sustituir y cancelar los términos y condiciones, usted no añadir ninguna nueva información.

Es cierto que no "agregar nueva información", pero puede revelar información que no es visible a primera vista. Aquí es un ejemplo muy simple, en un nivel de secundaria. Considere el problema típico de disparar una bola y la descripción de la trayectoria. Decir que disparar el balón desde la altura de la $0$, a una velocidad de $10\, $m/seg. Entonces la altura de la pelota está representado, en metros y con $t$ en segundos, por $$ h(t)=-\tfrac12\,gt^2+10t. $$ Suponga que se le pide a encontrar en qué momento de la altura de la pelota es máxima, y ¿cuál es el máximo. Si usted sabe de cálculo, usted puede mirar para el $t$ tal que $x'(t)=0$, y, a continuación, evaluar $x$ a que $t$. Pero, sin saber de cálculo, y haciendo un poco de "sustitución y cancelación de términos", podemos obtener $$ h(t)=-\tfrac12\g\,(t^2-\tfrac{20}g\,t) =-\tfrac12\g\,(t^2-\tfrac{20}g\,t+\tfrac{400}{g^2}-\tfrac{400}{g^2}) =-\tfrac12\g\,(t-\tfrac{20}{g})^2+\tfrac{200}g. $$ Ahora $h$ se expresa de tal manera que, desde el primer término nunca es positivo, podemos ver inmediatamente que la altura máxima es de $200/g$ metros, y que se produce precisamente en $20/g$ segundos.

Answer 5

Nosotros, los físicos trabajan con las dimensiones. Sin embargo, los matemáticos trabajan con parámetros adimensionales, como $x$ e $y$. Para nosotros, $x$ sería metros, pero para un matemático, $x\in\mathbb{R}$.

Así, resulta que hubo una ecuación diferencial, llamado "de Hermite de la ecuación diferencial", que era bien conocido antes de QM. Desde que era un problema matemático, se expresó en términos de $x$ e $y$, no "dimensionful" cantidades.

Así, lo que encontramos fue que, después de todos esos sustituciones, el oscilador armónico cuántico que se convirtió en la ecuación de HErmite. Y eso fue genial, porque ya sabíamos que la solución de que.

Si no sabemos que la ecuación, nos difícilmente habría encontrado la solución. Tenga en cuenta que la mayoría de QM problemas no tienen soluciones analíticas.