¿Por qué obtengo dos raíces reales del cúbico$x^3+x+5=0$

Question

Yo estaba pasando por la solución de depresión cúbicos ecuación de $$x^3+x+5=0$$

Por Cardano del Método asumimos

$$x=u+v$$ , A continuación,

tenemos $$(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0$$ Comparando con cúbicos tenemos

$$u^3+v^3=-5 \tag{1}$$

$$uv=\frac{-1}{3}\tag{2}$$ Solving $(1)$ and $(2)$ tenemos

$$u^3-\frac{1}{27u^3}=-5$$ Letting $u^3=p$ obtenemos

$$27p^2+135p-1=0$$ which gives two real distinct roots of $p$ which $\implica$ two real distinct roots of $u$ and hence two real distinct roots of $v$

Por lo tanto, dos raíces reales distintas de $x$

lo que salió mal aquí?

Answer 1

Obtendrá dos soluciones porque tanto $u^3$ como $v^3$ son soluciones cuadráticas, y la segunda solución simplemente intercambia las dos. Las dos soluciones para la cuadrática por lo tanto dan las mismas soluciones para la cúbica (según la raíz cúbica que tome).