¿Tiene "V contiene S" dos significados diferentes?

Question

Hablando en términos de conjuntos, me gustaría tener el de arriba para decir $S \in V$. Pero mi curso de las notas dice

Deje $S$ ser un subconjunto de un espacio vectorial $V$, el intervalo de $S$, denotado $Span(S)$ es el menor subespacio de $V$ que contiene $S$.

Lo que me confunde, porque $V$ contiene vectores, mientras que $S$ es un conjunto, no un vector, por lo que por mi definición, $V$ no contiene $S$.

Así por "$V$ contiene $S$" supongo que significa $S \subseteq V$, ¿verdad? Es este considera correcto, también?

Answer 1

Sí. Por desgracia, "$x$ contiene $y$" es ambigua: puede significar cualquiera de las $y\in x$ o $y\subseteq x$. Algunos autores hacen una distinción entre lo que "contiene" y "comprende": un conjunto contiene sus elementos y que incluye sus subconjuntos. Por desgracia, algunos autores hacen justo lo contrario; por ejemplo, citando a de la p. 33 de la C. de San J. A. Nash-Williams, En bien cuasi-orden de transfinito secuencias, Proc. Camb. Phil. Soc. 61 (1965), 33-37:

Para evitar confusiones, vamos a decir que un conjunto incluye sus elementos y contiene sus subconjuntos.

Answer 2

$S$ es un conjunto de vectores en $V$ que no es necesariamente un subespacio de $V$. Así que usted puede tener, por ejemplo, $S= \{v_1,v_2,...\}$ sin Embargo, cuando se toman todas las combinaciones lineales de los vectores en $S$, se obtiene el $span(S)=\{a_1v_1+a_2v_2+...|a_i \in F,v_i \in S\}$aquí $F$ es el campo subyacente de $v$, que es un subespacio de $V$.

Me refiero a que usted podría tener $S \subset V$. Tomemos, por ejemplo, $V=\mathbb{R}^3$ e $S=\{(1,0,0),(0,0,1)\}$, $Span(S)=x-z plane$.

Answer 3

Creo que este es un ejemplo de una función que se aplica implícitamente a un conjunto de sus posibles entradas de manera puntual. Es decir, dado que está claro lo que significa que un elemento s de span (S) esté contenido en V, también podemos (por extensión puntual) dar sentido a la declaración de que span (S) está contenido en V.

La función a la que se aplica en este caso es simplemente: $$\in_V : S \to \mathrm{Bool} : s \mapsto [s \in V].$ $