Las series de poder que divergen precisamente en las raíces de la unidad, convergen en otros lugares.

Question

Hay un complejo de alimentación de la serie $\sum a_nz^n$ con radio de convergencia $1$ que diverge en las raíces de la unidad (por ejemplo, $z=e^{2\pi i\theta}$, $\theta \in \mathbb{Q}$) y converge en otro lugar en el círculo unidad ($z=e^{2\pi i\theta}$, $\theta \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$)?

Sé $\sum \frac{z^n}{n}$ es una serie con radio de convergencia $1$ que converge en todas partes en el círculo unidad, excepto $1$. Tal vez podemos jugar con esto para obtener el resultado deseado.

También sé que $\sum \frac{z^{n!}}{n}$ diverge en las raíces de la unidad, pero yo no soy consciente de que un resultado en el que converge en todos los otros puntos en el círculo unidad.

Nota similar de las preguntas aquí antes, pero que no responden directamente a la pregunta planteada anteriormente.

Answer 1

Deje $p_1 < p_2 < \dots$ ser el de los números primos, y deje $a_n = 0$ si $n$ no es primo y $a_n = \frac{1}{k}$ para $n=p_k^2$.

Tomar cualquier $\frac{l}{q} \in \mathbb{Q}$. Nota, por el teorema de los números primos para progresiones aritméticas, que $$\lim_{K \to \infty} \frac{1}{K}\sum_{k \le K} e^{2\pi i p_k^2\frac{l}{q}} = \frac{1}{\phi(q)}\sum_{\substack{a \le q \\ (a,q) = 1}} e^{2\pi i a^2 \frac{l}{q}}.$$ By a standard summation by parts argument, it follows that $$\lim_{K \to \infty} \frac{1}{\log K} \sum_{k \le K} \frac{1}{k}e^{2\pi i p_k^2\frac{l}{q}} = \frac{1}{\phi(q)}\sum_{\substack{a \le q \\ (a,q) = 1}} e^{2\pi i a^2 \frac{l}{q}}.$$ Therefore, if we show that the sum $\sum_{un \le q \\ (a,q) = 1} e^{2\pi i a^2\frac{l}{q}}$ is nonzero for any $q \ge 1$ and $(l,q) = 1$, it follows that $\sum_{k \K le} \frac{1}{k} e^{2\pi i p_k^2\frac{l}{q}}$ golpes en magnitud y, en particular, diverge. Se demuestra que la suma es cero debajo de la tapa.

Ahora tomar cualquier $\alpha \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Es bien conocido que $$\lim_{K \to \infty} \sum_{k \le K} \frac{1}{k}e^{2\pi i p_k^2\alpha}$$ exists, which clearly implies that $\sum_{n \le N} a_ne^{2\pi i \alpha n}$ converges as $N \to \infty$. Esto completa el argumento.

\begin{align} &\cup_{i=1}^{\infty} \cap_{n=1}^{\infty} \{i \in B_n\} \\ & \cap_{n=1}^{\infty} \cup_{i=1}^{\infty} \{i \in B_n\} \end---------------------------------------------------------

El uso de la identidad de $\sum_{d \mid n} \mu(d) = 1_{n=1}$, vemos $$\sum_{a \le q \\ (a,q) = 1} e^{2\pi i a^2\frac{l}{q}} = \sum_{a \le q} e^{2\pi i a^2\frac{l}{q}}\sum_{d \mid (a,q)} \mu(d) = \sum_{a \le q} e^{2\pi i a^2\frac{l}{q}} \sum_{\substack{d \mid a \\ d \mid q}} \mu(d)$$ $$ = \sum_{d \mid q} \mu(d) \sum_{d \mid a \le q} e^{2\pi i a^2\frac{l}{q}} = \sum_{d \mid q} \mu(d)\sum_{j \le q/d} e^{2\pi i j^2\frac{dl}{q/d}}$$ where the last equality was obtained by substituting $a = jd$. We have a linear combination of quadratic Gauss sums. Each $\sum e^{2\pi i j^2\frac{dl}{p/d}}$ is either $0$ or $c\sqrt{p/d}$ for $c \in \{\pm 1, \pm i, \pm (1+i), \pm i(1+i)\}$. If $q \no \equiv 2 \pmod{4}$, then the term corresponding to $d=1$ is $c\sqrt{q}$ which cannot cancel with any of the other terms and we're done. If $q \equiv 2 \pmod{4}$, then the term $d=2$ will give a $-c\sqrt{q/2}$ plazo que no puede cancelar con cualquiera de los otros términos y hemos terminado.