Un problema con probar utilizando la definición que$\lim_{n\to\infty}\frac {n^2-1}{n^2+1}=1$

Question

Demuestre utilizando la definición que:$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac {n^2-1}{n^2+1}=1 $ $

Lo que hice:

Deje que$\epsilon >0$ encuentre$N$:$\mid\frac {n^2-1}{n^2+1}-1\mid=\mid\frac {-2}{n^2+1}\mid\le\mid\frac {-2}{n^2}\mid=\frac {2}{n^2}\le\frac {2}{n}$ Entonces$N=\frac 2 {\epsilon}$.

Así que para todos los$n>N$ queremos mostrar que:$|a_n-l|<\epsilon \Rightarrow \mid\frac {n^2-1}{n^2+1}-1\mid=\mid\frac {-2}{n^2+1}\mid<\mid\frac {-2}{N^2} \mid=\mid\frac {-2}{\frac 1 {\epsilon^2}} \mid=\mid -2\epsilon^2 \mid=2\epsilon^2$

Pero eso no es más pequeño que$\epsilon$, así que estoy haciendo algo mal aquí y no sé qué ...

Answer 1

Eran casi allí, pero cerca del final se desvió de su correcta cero trabajo.

$$|a_n-l|<\varepsilon \Rightarrow \left|\frac {n^2-1}{n^2+1}-1\right|=\left|\frac {-2}{n^2+1}\right|\color{red}<\left|\frac {-2}{N^2} \right|=\left|\frac {-2}{\frac 1 {\varepsilon^2}} \right|=\left| -2\varepsilon^2 \right|=2\varepsilon^2.$$

El rojo de la desigualdad no es incorrecto, pero mediante el uso de lo que usted está desechando el trabajo que has hecho antes.

A lo largo de la línea de lo que hizo antes, se debería haber hecho:

$$\left|\frac {-2}{n^2+1}\right|<\dfrac 2n<\dfrac 2 N=\varepsilon.$$

Al parecer, usted permitir real $N$ en su definición. Si quieres que un número natural $N$, bastaría con tomar un número natural mayor que $\dfrac 2\varepsilon$, (de existir).

Answer 2

PS

Answer 3

Insinuación:-

$\dfrac{n^2-1}{n^2+1}=1-\dfrac{2}{n^2+1}<1-\dfrac{1}{n^2}$

Answer 4

Sugerencia: denominador de buceo y numerador por la potencia de aparición más alta, aquí$n^2$