Una condición equivalente de un elemento a ser integral

Question

Que $R$ sea un dominio noetheriano, $Q$ su campo de fracción y $u\in Q$. Me podrias ayudar a demostrar que

¿$u$ es $R$ integral si y solamente si existe $r\in R$ $r\neq0$ y $ru^n\in R$ cada $n\geq0$?

(para la implicación inversa existe la sugerencia a tener en cuenta el $R$-submódulo de $Q$ de $\frac{1}{r}$).

Answer 1

Algunas de las ideas que debe ayudar.

$\Rightarrow$. Si $u$ integral $R$, $u$ satisface algunas monic polinomio, dicen de grado $n$, con coeficientes en $R$. Demostrar que cualquier positivo de alimentación de $u$ puede ser escrito como una $R$-combinación lineal de $1, u, \ldots, u^{n-1}$. Lo que sigue es que realmente sólo tiene que encontrar un $r$ tal que $ru^i \in R$$i < n$.

$\Leftarrow$. La sugerencia es buena. $R\frac1r$ es, sin duda finitely genera como una $R$-módulo, por lo que es Noetherian. Mostrar que $R[u] \subset R\frac1r$ con la condición dada. ¿A que ahora sabemos acerca de $R[u]$ $R$- módulo?

Answer 2

El trivial de la dirección es un caso especial de el Lema de abajo, con las $\rm\:D =\:$ integral de cierre de $\rm\:R.\:$

Lema $\ $ Supongamos que $\rm\:D = \mathbb Z\:$ (o cualquier Noetherian integralmente cerrado de dominio, por ejemplo, cualquier PID), y supongamos que $\rm\:w\:$ es una fracción más de $\rm\:D\:$, que algunos ilimitado de la secuencia de potencias de $\rm\:w\:$ tiene un común denominador $\rm\:0 \ne d\in D,\:$ es decir $\rm\:d\!\:w^{n_i}\in D\:$ todos los $\rm\:n_i.\:$ $\rm\:w\in D.$

Prueba de $\ $ ACC la secuencia de los ideales de la $\rm (d, dw^{n_1}, dw^{n_2},\ldots)$ eventualmente se estabiliza, lo que implica que para algunos $\rm\:k\:$ tenemos $\rm\: dw^{n_k}\in (dw^{n_{k-1}},\ldots, dw^{n_1}, d),\:$, lo que implica

$$\rm d\: w^{n_k} + c_{n_{k-1}} d\: w^{n_{k-1}} +\:\! \cdots +\: c_{n_1} d\: w^{n_1} + d\: =\: 0$$

La cancelación de $\rm\:d\:$ rendimientos $\rm\:w\:$ integral $\rm\:D,\:$ por lo tanto $\rm\:w\in D,\:$ desde $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado. $\ $ QED

Elementos cuyos poderes tienen un denominador común se llama casi integral. Es claro que los elementos que forman parte son casi integral. Lo anterior demuestra que lo contrario es cierto en Noetherian dominios. Esta es empleado de forma implícita en Dedekind del trabajo en el ideal de la teoría.

Aquí es una aplicación típica de mi respuesta a este estado de la cuestión.

Espectáculo $\rm\:a|b^2,\: b^3|a^4,\: a^5|b^6,\: b^7|a^8 \:\cdots\Rightarrow\: a = b\:$ $\rm\:a,b\in\mathbb Z_+$

Sugerencia $\rm\ \ \forall\: n\in\mathbb N:\ \ a\:\!\left(\dfrac{a}b\right)^{4n+3}\!\in\mathbb Z,\:\ b\:\!\left(\dfrac{b}a\right)^{4n+1}\!\in \mathbb Z\ \ \Rightarrow\ \dfrac{a}b,\:\dfrac{b}a\in\mathbb Z\ \ \Rightarrow\ \ a = \pm b\ \ \ $ QED