¿Se pueden usar números complejos en probabilidad?

Question

Nunca he pensado en usar números complejos en probabilidad. Estoy examinando el Teorema de Bayes e intentando relacionarlo con la geometría proyectiva y esta pregunta vino a mi mente. No estoy hablando de amplitud de probabilidad o de ninguna aplicación a la teoría cuántica. Estoy preguntando sobre matemáticas puras.

¿Podría alguien dar un ejemplo simple donde la respuesta a una pregunta sea, por ejemplo, 2+i?

Answer 1

Este diagrama de bloques es para un analizador de espectro de estilo antiguo basado en la TRC. El barrido horizontal representa la frecuencia que se está midiendo en un momento dado (como un tiempo de wrt de dientes de sierra), y la amplitud vertical es el contenido de frecuencia en esa frecuencia (más exactamente, en un rango estrecho de frecuencias).

Si la señal de entrada es un portador modulado, la pantalla mostrará la(s) banda(s) lateral(es).

Answer 2

En el enfoque de la incertidumbre en el que la expectativa es primitiva (ver, por ejemplo, Bruno de Finetti, Frank Lad, Peter Whittle), se define una probabilidad como la expectativa de la función indicadora de una proposición. Las cantidades aleatorias y las expectativas pueden ser complejas, pero las probabilidades siempre son valores reales porque la función indicadora solo toma los valores reales 0 y 1.

Answer 3

Sí, la mecánica cuántica es una aplicación de la teoría de la probabilidad compleja. Si las probabilidades complejas no se mantuvieran en las "matemáticas puras", seguirían desmoronándose en la mecánica cuántica y producir resultados absurdos.

Answer 4

Uno puede hacer eso, por ejemplo tener (exóticas) probabilidades que pueden ser negativas, o incluso mayores que uno etc.

Para una introducción simple revisa este enlace

Como bono, incluso la mecánica cuántica se puede formular (al menos en cierto grado) como probabilidades complejas

Consulta también esta publicación (que cubre un aspecto diferente), pero que puede ser una posible aplicación

ACTUALIZACIÓN:

agregando un comentario que hice aquí, ya que responde a críticas sobre probabilidad compleja, pero también pone la discusión en el marco correcto.

Las primeras palabras del trabajo emblemático de Kolmogorov sobre la axiomatización de la teoría de la probabilidad declaran (no cita exacta): "Una probabilidad es un número asignado a un evento en un espacio de eventos...". Ahora usa otro número (y ajusta la aritmética en consecuencia) y tendrás una teoría de la probabilidad (quizás exótica pero no menos real)