Recuerde que $C$ es obtenido a través de la "media tercios proceso": Uno se lleva a la disminución de de la cadena de conjuntos cerrados $[0,1] = C_0 \supset C_1 \supset C_2 \supset \cdots,$ donde $C_{n+1}$ se obtiene a partir de a $C_n$ mediante la eliminación de los restantes "tercio medio" abrir los intervalos y conjuntos de $C = \bigcap_{n=0}^{\infty} C_n$.
Por lo tanto $\mathbb R^2 \setminus C$ es igual a la unión de $\bigcup_{n=1}^{\infty} \mathbb R^2 \setminus C_n$.
Ahora, $C_n$ es una unión de intervalos cerrados. Deje $D_n = C_n\times [0,1] \subset \mathbb R^2$. Tenga en cuenta que la eliminación de $\mathbb R^2 \setminus C_n$ es homemomorphic a $\mathbb R^2 \setminus D_n$, de manera que es compatible con las inclusiones como pasamos de la $n$$n+1$. (Ejercicio! Y consulte a continuación para ver un poco más sobre esto.)
Por lo tanto $\mathbb R^2 \setminus C$ es homemomorphic a la unión de $\mathbb R^2 \setminus D_n$. Si usted piensa acerca de esta unión, que comienzan con $\mathbb R^2$ menos una plaza cerrada, a continuación, añadir en el "tercio medio" de esa plaza, que el "medio tercios" de los dos pequeños rectángulos restantes, y así sucesivamente.
Esto le da Spivak de la imagen, en la forma descrita en user75064 la respuesta, y con el cierre de la rectángulos de ser eliminado en vez de la ronda de discos. Un final homeomorphism (intuivitely bastante evidente, pero un poco más difícil de escribir) convierte los rectángulos a los discos, y da Spivak de la imagen.
Si quieres pensar acerca de cómo hacer todo esto riguroso, mi sugerencia es comenzar con probar que $\mathbb R^2$ menos en un intervalo cerrado es homeomórficos a $\mathbb R^2$ menos de un rectángulo cerrado.
No es tan difícil probar esto por un bien elegido explícita homeomorphism, pero no completamente trivial.
Los otros pasos, que implican la eliminación de los complementos de los rectángulos por los complementos de los discos son más difíciles de escribir explícitamente, pero (en mi opinión), en realidad, menos profundo que el paso anterior, y confiar en la intuición para este tipo de "deformación de la forma" homeomorphism no es tan malo. (Cuando la topología
hace un poco más sofisticado, que demuestra que, o aprender las técnicas para la demostración, bastante general, los resultados de este tipo, que dan a la existencia de resultados para la correspondiente homeomorphisms sin escribir fórmulas explícitas.)
