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Question

Estoy tratando de probar la desigualdad siguiente usando la desigualdad del titular:

$$ \left(\frac{a}{a + 2b}\right)^2 + \left(\frac{b}{b + 2c}\right)^2 + \left(\frac{c}{c + 2a}\right)^2 \geq \frac{1}{3}, $$

donde $ a, b ,c $ son positivos.

Lo he intentado varias combinaciones pero estoy atascado - alguna idea?

Answer 1

Con una desigualdad más generalizada del titular, ($\sum $ representación cíclica sumas): $$\sum \left(\frac{a}{a+2b} \right)^2 \cdot \sum (a+2b) \cdot \sum a(a+2b) \geqslant \left(\sum a\right)^3$ $ queda nota $\sum (a+2b) = 3\sum a$ y $\sum a(a+2b) = (\sum a)^2$

Answer 2

C-s dos veces obtenemos: $$\sum{cyc}\left(\frac{a}{a+2b}\right)^2=\frac{1}{3}\sum{cyc}1^2\sum{cyc}\left(\frac{a}{a+2b}\right)^2\geq\frac{1}{3}\left(\sum{cyc}\frac{a}{a+2b}\right)^2=$ $ % $ de $$=\frac{1}{3}\left(\sum{cyc}\frac{a^2}{a^2+2ab}\right)^2\geq\frac{1}{3}\left(\frac{(a+b+c)^2}{\sum\limits{cyc}(a^2+2ab)}\right)^2=\frac{1}{3}.$hecho!