Hay mucho para descomprimir aquí, así que voy a tratar de ir línea por línea:
Sabemos que el volumen de las dimensiones superiores de la esfera es inversamente proporcional al número de dimensiones.
Esto no es del todo correcto. En primer lugar, creo que te refieres a la unidad de la bola (no la unidad de la esfera). La esfera es el conjunto de
$$ S^n(0,r) := \{ x \in \mathbb{R}^n : \|x\| = r \}, $$
mientras que la pelota es el conjunto
$$ B^n(0,r) := \{ x \in \mathbb{R}^n : \|x\| < r \}. $$
Esencialmente, la pelota es sólido, mientras que la esfera incluye sólida bola. Normalmente, cuando hacemos uso de la frase "volumen", estamos hablando de bolas, no se esferas. Voy a suponer que por "esfera" en realidad significa la pelota.
Nota, también, que el volumen de la unidad de la bola de $B^n(0,1)$ tiende a cero, como se $n$ va al infinito, pero no es correcto decir que el volumen es inversamente proporcional a la dimensión. Esto implica que hay algunas constantes $k$ tal que
$$ \operatorname{vol}(B^n(0,1)) = \frac{k}{n}. $$
No tan constante que existe. En realidad, es peor que eso.
El volumen de la bola de $B^n(0,r)$ está dado por
$$ \operatorname{vol}(B^n(0,r)) = \operatorname{vol}(B^n(0,1)) r^n = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}r^n, $$
que (claramente?) tiende a cero con $n$ si $r \le 1$. Es menos claro (tal vez) de que esta tiende a cero si $r > 1$, pero $\Gamma(\frac{n}{2}+1)$ es aproximadamente el $\lceil\frac{n}{2}\rceil!$ grandes $n$, que crece más rápido que el numerador. En cualquier caso, creo que se desee restringir nuestra atención a la unidad de la bola.
Por lo tanto, como el aumentar el número de dimensión mantener el radio fijo, el volumen de la esfera tiende a Cero.
Esto es casi correcto. Si queremos volver a escribir esta frase "Como aumentar la dimensión, el volumen de la unidad de la bola tiende a cero," va a ser la correcta.
Por otro lado, si aumentamos el número de dimensión en el caso de los Cubos o poliedros (para ser específicos), que aumenta el volumen. Por lo tanto, el volumen de un infinito dimensional hipercubo es infinito.
El volumen de un cubo, que puedo tomar para el conjunto
$$ C^n(0,r) = [-r,r]^n, $$
está dada por
$$ \operatorname{vol}(C^n(0,r)) = (2r)^n. $$
Esto tiende a infinito con $n$ si y sólo si $r > \frac{1}{2}$, y tiende a cero si y sólo si $r < \frac{1}{2}$. Este es básicamente el mismo comportamiento que el de la bola, con una salvedad:
$$ \lim_{n\to\infty} \operatorname{vol}(C^n(0,1/2)) = 1 \ne 0 = \lim_{n\to\infty}\operatorname{vol}(B^n(0,1)). $$
Por lo que, tal vez, la mayoría de los interesados en la unidad de cubo, así.
Ahora, en el contexto de la topología, una esfera es homeomórficos a un cubo o parallelopiped,
Esto es sin duda cierto en finito de espacios dimensionales. No es obvio que es cierto en espacios de infinitas dimensiones. Básicamente, hay muchas normas que podemos definir en $\mathbb{R}^n$, dos de los cuales están en juego aquí. La primera, llamada la norma Euclídea, está dada por
$$ \|(x_1,\dotsc,x_n)\|_2 := \sqrt{x_1^2 + \dotsb + x_n^2}. $$
El segundo, llamado el $\ell^\infty$ o norma máxima está dada por
$$ \|(x_1,\dotsc,x_n)\|_\infty := \max\{|x_1|,\dotsb,|x_n|\}. $$
Ambos de estas normas inducir topologías en $\mathbb{R}^n$, y resulta que si $n$ es finito entonces estas topologías son equivalentes (tienen la misma abierto conjuntos). El abierto de bolas para la norma Euclídea la costumbre de abrir las bolas, y el abierto de bolas para la max-norma son el open cubos, que (después de algunos abstractos tonterías) implica que los cubos y bolas son homeomórficos en lo finito espacios dimensionales.
Sin embargo, la norma Euclídea y el max-norma de no inducir la misma topología en $\mathbb{R}^\infty$. Mucho más delicado argumentos deben ser hechas, y no es del todo claro para mí que un cubo y el balón $\mathbb{R}^\infty$ son homeomórficos (o incluso lo que es el derecho topología).
en el caso de dimensiones infinitas... donde el volumen de la esfera es infinito y el volumen de la hipercubo es infinito...
Creo que ya he tratado este punto.
Eso no implica que un objeto de volumen de la magnitud de Cero es homeomórficos (que puede ser transformados continuamente) a algo que tiene el volumen de la magnitud Infinito?
Básicamente, creo que usted está preguntando si un objeto con volumen infinito puede ser homeomórficos a un objeto con volumen finito, o incluso un volumen cero. Este no es un resultado sorprendente. Por ejemplo, la unidad de disco en $\mathbb{R}^2$, es decir, el conjunto $B^2(0,1)$, ha "volumen" (área, medida, lo que sea que quieras llamarlo) $\pi$. Sin embargo, la unidad de disco es homeomórficos a todos los de $\mathbb{R}^2$, que tiene una infinidad de volumen (área, medida, whatevs).
El problema aquí es que las topologías son muy débiles estructuras. El que nos diga cómo los puntos se relacionan entre sí. Topologías de dar una muy débil noción de "proximidad", nos permiten definir los límites, nos dan una manera de hablar acerca de la conexión (de varias maneras, de hecho), y otras estructuras. Sin embargo, no hay ninguna manera intrínseca para medir el volumen, y no hay ninguna razón para creer que el volumen debe ser un invariante topológico (es decir, dos homeomórficos objetos deben tener el mismo volumen).
Si usted quiere hablar acerca de los volúmenes, se necesita más estructura que sólo una topología. Normalmente, hablamos de volúmenes en una parte de las matemáticas llamada teoría de la medida. En esta teoría, la medida de un conjunto potencialmente puede comunicarse con la topología (esto es, esencialmente, la idea de una medida de Borel en $\mathbb{R}^n$), pero la medida nos da más información de la topología solo. Medir los espacios tienen "más fuerte" estructuras de espacios topológicos.
