¿Qué valores para un primo$p$ son posibles si$3p+1$ es un cubo perfecto?

Question

Ya hay un caso similar como este en el sitio, pero se trata de cuadrados perfectos y es relativamente fácil de resolver.

Pero ¿qué pasa con los cubos perfectos? Por lo tanto$3p+1= n^3$?

¿alguna ayuda? ¡Gracias!

Answer 1

¿Por qué no lo intentas? $$ n ^ 3-1 = 3p \ to (n-1) (n ^ 2 + n +1) = 3p \\\ to \begin{cases}n-1=p &n^2+n+1=3\\ n-1=3 &n^2+n+1=p \\n-1=3p &n^2+n+1=1\\ n-1=1 &n^2+n+1=3p\end {cases} $$ all of casos que suceden

Answer 2

Esta no es la solución, he probado todos los cuatro casos y no llegar a ninguna parte.... suspiro. Alguien puede ayudarme?

Caso 1: supongamos que p=n-1 y 3=(n^2)+n+1 Entonces n=p+1, por lo que
3=(p+1)^2 + (p+1) +1

3= p^2 +2p +1 +p +1 +1

3= p^2 +3p +3

pero entonces, ¿qué?

0=p^2 +3p

0= p(p +3) entonces p es 0 o -3? sería 3 ser la respuesta? pensé que tendría que ser positivo...

Caso 2: asumir 3=n-1 y p=(n^2)+n+1 Entonces, n= 4

p=16 +4 +1 = 21, que no es primo.

Caso 3: asumir 3p=n-1 y 1=(n^2)+n+1 Entonces, n= 3p+1

1= (3p+1)^2 +(3p+1) +1

1= 9p^2 +6p+ 1 +3p+1 +1

1= 9p^2 +9p +3

-2= 9(p^2-p)

-2/9 = p^2-p

que ... no estoy seguro acerca de una solución

Caso 4:

suponga que 1=n-1 y 3p=(n^2)+n+1 Entonces, n=2

3p = 4+2+1

3p = 7

p=7/3, que no es el primer ni un entero....

Alguna ayuda????