Muestre que$d(x,y)$ en una métrica en$X$.

Question

Deje que$d_a(x,y)=7|x-y|$ y$d_b(x,y)=|x+y|$ sean métricas en el conjunto$X$. Muestre que$d(x,y)=d_a(x,y) + d_b(x,y)$ también es una métrica en$X$.

¿Sería correcto al escribir$d_a(x,y) + d_b(x,y)$ como$7|x-y| + |x+y|$? ¿Y luego aplicar las propiedades regulares de una métrica? Si este es el caso, ¿cómo probaríamos la desigualdad del triángulo?

Answer 1

Esto NO es ni siquiera una métrica, de hecho, incluso$d_b(x,y)$ NO es una métrica.

PS

Answer 2

En respuesta al comentario anterior en mi otra respuesta, voy a demostrar que la suma de dos métricas $(d_1(x,y)$ $d_2(x,y))$ define una métrica ($d(x,y) = d_1(x,y)+d_2(x,y))$

Prueba:
Supongamos $d(x,y)=0$ $$d(x,y) = d_1(x,y) + d_2(x,y) = 0$$ Como $d_1$ $d_2$ son métricas, se debe satisfacer $d_1(x,y),d_2(x,y)\ge 0$ todos los $x,y \in X$. Pero esto significa que deben estar precisamente cero, pero métricas sólo igual a cero cuando sus argumentos son iguales, por lo tanto $x=y$.

Por el contrario, supongamos $x=y$, $d_1(x,y)=d_2(x,y)=0$ debido a que estas son las métricas, por lo tanto $d(x,y)=0$.

La simetría,

$$d(x,y) = d_1(x,y) + d_2(x,y) = d_2(y,x)+d_1(y,x)=d(y,x)$$

donde el medio el signo igual es cierto, porque la $d_1, d_2$ son métricas y, por tanto, simétrica en su propio derecho.

El Triángulo De La Desigualdad

$$d(x,z) = d_1(x,z) + d_2(x,z) \le [d_1(x,y) + d_1(y,z)] + [d_2(x,y) + d_2(y,z)]=$$ $$=[d_1(x,y) + d_2(x,y)] + [d_1(y,z) + d_2(y,z)]= d(x,y) + d(y,z) $$

donde el $\le$ es cierto porque las $d_1,d_2$ son métricas y, por tanto, satisfacen la desigualdad de triángulo en sus el propios.