Segunda derivada de la expresión del delta de dirac

Question

He llegado a través de la expresión $$ \int f(x) \delta(x-a) \delta''(x-a) \mathrm dx donde el primero representa el derivado.

Generalmente con derivados de la distribución delta parcialmente integrar, pero aquí me sigo corriendo en círculos. Lo que he intentado es\begin{align} \int f \delta \delta'' &= - \int (f \delta)' \delta' = -\int f' \delta \delta' - \int f \delta' \delta' = - \int f' \delta \delta' + \int (f \delta')' \delta\ & ={} - \int f' \delta \delta' + \int f' \delta' \delta + \int f \delta '' \delta= \int f \delta \delta'' \end {Alinee el} o si tomo el otro término de la segunda integración parcial\begin{align} \int f \delta \delta'' &= - \int (f \delta)' \delta' = \int (f \delta)'' \delta = \int f'' \delta \delta + 2 \int f' \delta' \delta + \int f \delta '' \delta \ \Rightarrow 0 &= \int f'' \delta \delta + 2 \int f' \delta' \delta \end {Alinee el} que yo también pude haber conseguido de primaria integración parcial de $f'' \delta^2$.

¿Qué otras opciones tengo? Plazas de funciones delta etc. no son un problema.

Answer 1

Yo sólo estaba jugando con las cosas y las tiene, hágamelo saber si usted encuentra que es una idea útil (o si me falta algo que hace que este inútil).

Denotar $\delta_k(x)=\frac{1}{k\sqrt{\pi}} e^{-(x/ k)^2}$. Usted consigue el bien conocido (completamente matemáticamente riguroso) resultado:

$\lim_{k\to 0} \int_{-\infty}^\infty f(x) \delta_k(x) dx=f(0)$ para bien portado lo suficientemente $f$.

Por lo tanto, veamos:

$\lim_{k\to 0} \int_{-\infty}^\infty (c_0+c_1 x+c_2 x^2+\cdots) \delta_k''(x) \delta_k(x) dx=f(0)$

Utilizando la conocida técnica de la Prueba Por Mathematica:

delta[x_] := 1/(k Sqrt[ Pi]) E^(-(x/k)^2);
g[x_] = FullSimplify[delta''[x] delta[x] x^n];
Integrate[g[x], {x, -Infinity, Infinity}, Assumptions -> {Element[n, Integers], a > 0}]

Obtengo el resultado:

$$\int_{-\infty}^\infty x^n \delta_k''(x) \delta_k(x) dx=\frac{2^{-\frac{n}{2}-\frac{3}{2}} \left((-1)^n+1\right) (n-1) k^{n-3} \Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\pi }$$

As $k\to 0^+$, the value is zero for $n=1,3,4,5,6,7,\cdots$ and diverges for $n=0,2$, like $-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}k^3}$ for the $n=0$ case and like $\frac{1}{4 k\sqrt{2 \pi}}$ for the $n=2$ caso.