¿Por qué asumimos local de conformación de las transformaciones son las simetrías en 2D CFT

Question

El mundial de conformación de grupo en 2D es $SL(2,\mathbb{C})$. Se compone de los fraccional lineal que transforma el mapa de la esfera de Riemann en sí mismo bijectively y es finito dimensionales.

Sin embargo, cuando el estudio de $CFT_2$ de la gente siempre usar la plena álgebra de Virasoro, no sólo el$L_{0,\pm1}$, lo que en realidad exponentiate a es invertible transformaciones. Me gustaría saber por qué la gente considere a los otros $L_n$'s para ser simetrías de la teoría.

Soy consciente de que el Barrio de las identidades locales de las declaraciones, y que se me puede considerar la posibilidad de coordinar un parche donde los adicionales de conformación de las transformaciones son bijective, a fin de obtener las relaciones entre las funciones de correlación en este parche. También estoy familiarizado con las representaciones de el álgebra de Virasoro y cómo limitar la simetría.

Sin embargo, estamos haciendo la mecánica cuántica, y la simetría de la teoría debería llevarme de un estado físico a otro. Además, la simetría se debe tener una inversa que se deshace de esta transformación. Esto significa que la física espacio de Hilbert debe organizarse en las representaciones de las simetrías de la teoría. Sin embargo, el local de conformación transformaciones no tienen inversas, y para que no forman parte de un grupo que yo sepa. Entonces, ¿por qué supone que los estados de una $CFT_2$ deben organizarse en las representaciones de el álgebra de Virasoro? (Soy consciente de $L_{n \leq -2}|0\rangle\neq 0$, $\langle 0|L_{n\geq 2} \neq 0$ así que a todos, pero el $L_{0,\pm 1}$ "espontáneamente rota" en la in/out de vacío, pero esto no es relevante, ya que los estados de la teoría son todavía supone para montar en Verma módulos, ya que se supone que el Virasoro fue una simetría de la teoría de que es sólo violada por el vacío).

Mi pregunta básicamente se reduce a: ¿Cómo puedo tener simetrías de una teoría que no es invertible? Agradecería cualquier comentario que aclarar mi confusión.

Answer 1

El álgebra de Virasoro es un centro ampliado de álgebra. Esto significa que en cada representación, su elemento central debe ser representado por el operador de la unidad. Por lo tanto (para un no-fuga central de carga) no puede ser implementado en su totalidad en el nivel cuántico como la simetría del vacío, de lo contrario uno puede conseguir una contradicción del tipo $1 |0\rangle = 0 |0\rangle$.

El álgebra $\frak{su}(1,1)$ generado por $L_{0, \pm1}$ es el más grande subalgebra no contiene el elemento central, por lo tanto el mayor subalgebra que puede ser implementado como una simetría de la aspiradora.

La forma correcta es a la vista de la central extendida) grupo $G = \widetilde{Diff(S^1)}$ como la dinámica de grupo de la teoría (por Favor, ver Souriau del libro (página 100). (Aunque este libro trata solamente finito dimensionales de los grupos). Esto significa que este grupo puede ser implementado clásicamente por medio de una transformación canónica. El Hamiltoniano será un elemento universal de la envolvente de álgebra del grupo. Estas dos condiciones son válidas en nuestro caso.

La importancia de esta construcción es que, en la cuantización, la acción de la dinámica de grupo puede ser (con optimismo) elevada a una representación unitaria en el quantum de espacio de Hilbert. Esta representación es inducida a partir de una representación de los grupos pequeños (de vacío de la preservación de los subgrupos, por ejemplo, un subgrupo $H$ correspondiente a la Mentira de álgebra $\frak{su}(1,1)$).

En la terminología moderna, esta construcción se denomina cuantificación de la coadjoint órbita $G/H$. La representación del pequeño grupo que realmente corrige una estructura simpléctica en el coadjoint órbita. Por favor, consulte el artículo de: Gay-Balmaz en el Virasoro grupo coadjoint órbitas y las referencias allí contenidas (El artículo está disponible en línea en la siguiente página).

(Debe ser mentionioned que la teoría de la coadjoint órbitas en el finito dimensional caso es mucho más sencillo, por favor, véase por ejemplo el siguiente revisión por Kirillov).

Esta no es toda la historia en nuestro caso debido a la infinita dimensionalidad del grupo y de las representaciones. Como se mencionó en el pregunta, el roto generadores en este caso no puede ser unitarily a cabo debido a que la unidad de vacío fuera de la cuántica Hilbert espacio.

Esta situación fue considerada por Bowick y Rajeev y también por Kirillov y Yuriev, por favor consulte la siguiente revisión por Sergeev. Ellos construyeron la Hilbetrt espacio y, a continuación, actuado por un elemento arbitrario de $Diff(S^1)$ cambiando el vacío del estado. El vacuua generar una línea de paquete de más de $Diff(S^1)$ con un Hermitian conexión. Se encontró que la condición de que esta conexión se vuelve plana es exactamente cuando la teoría cuántica se convierte en $Diff(S^1)$ invariante en el nivel cuántico (por ejemplo, en el plano de caso de la bosonic cadena, esto ocurre cuando los $d=26$). La cuantificación se lleva a cabo es un Kähler de cuantización. Ellos encontraron que el coadjoint órbita canónica paquete de contribución a la anomalía es igual a la contribución de los fantasmas (Esto es comprensible porque el fantasma término se origina a partir de la medida del caudal de la ruta integral). La planitud de la condición de vacío paquete de conexión puede ser interpretado como un unitario de equivalencia de la cuantificación de espacios de Hilbert. En este caso, el álgebra de Virasoro puede ser exponentiated ya que no tienen una red central de carga.

Este tipo de cuantización fue utilizado por Hitchin y más tarde por Axelrod, della Pietra, y Witten en la cuantización de la Chern Simons teoría.

Por lo tanto la solución de la implementabilidad de la totalidad de Virasoro grupo en el nivel cuántico es tomar el vacío como un producto tensor de la asunto Fock vacío y el fantasma de los sectores de tal forma que su central completo cargo se desvanece.