Acoplamiento de variables aleatorias continuas.

Question

Deje que$X,Y$ sean variables aleatorias con densidades$f_X(x)=x^{-2}1_{[1,\infty)}$ y$f_Y(x)=3x^{-4}1_{[1,\infty)}$.

¿Cómo puedo juntar estos puntos que$X\leq Y$ con probabilidad 1?

Intento:
Sé que se cruzan en$x=\sqrt{3}$. Luego$f_Y(x)>f_X(x)$ para$x<\sqrt{3}$ y$f_Y(x)<f_X(x)$ para$x>\sqrt{3}$.

Ahora queremos encontrar las variables aleatorias$X'$ y$Y'$ con la función de probabilidad conjunta$P'$, de modo que sus marginales devuelvan$X$ y$Y$ y$X'\leq Y'$.
¿Cómo hago esto?

Answer 1

Si existieran dichos$X$ y$Y$, entonces de$X\le Y$ uno obtendría:

PS

Sin embargo, si cambia la hipótesis de$$\infty = E[X]\le E[Y]=\frac{3}{2}$ a$X\le Y$, entonces sería bueno tomar$X\ge Y$ ($X=Y^3$ con probabilidad$X\ge Y$ y$1$)

Answer 2

Una forma estándar de par de dos variables aleatorias tales como estos, es con la pareja, ambos con el uniforme de probabilidad en $[0,1]$, utilizando funciones de distribución acumulativa y, a continuación, eliminar el medio de la probabilidad.

En este caso, las funciones de distribución acumulativa se $F_X(x) = 1 - 1/x$ $F_Y(x) = 1 - 1/x^3$ (ambos apoyados en $[1,\infty)$). Tenga en cuenta que sus funciones inversas $F_X^{-1}(y) = 1/(1-y)$ $F_Y^{-1}(y) = 1/(1-y)^{1/3}$ ambas son funciones crecientes de$[0,1)$$[1,\infty)$.

Deje $W$ ser una variable aleatoria uniforme en $[0,1]$, definir $X' = F_X^{-1}(W)$$Y' = F_Y^{-1}(W)$, y definir $Z'=(X',Y')$. Las definiciones de $X'$ $Y'$ asegurarse de que tienen las mismas distribuciones como $X$$Y$, respectivamente; por otra parte, el hecho de que $F_X^{-1}(y) \ge F_Y^{-1}(y)$ asegura que $X' \ge Y'$ (todo el tiempo, no sólo con una probabilidad de $1$).

(Tenga en cuenta que esta construcción se terminó dándole $X' = (Y')^3$, como se propone en el Momo de la anterior respuesta.)