He estado luchando con esto durante un tiempo, pero no podía hacerlo. $$\int{\frac{1}{x^4\arctan(x)+x^3+x^2\arctan(x)+x}}dx$ $ Lo que intenté fue factoring así: $$I = \int{\frac{1}{(x^2+1)(x+x^2\arctan(x))}}dx$$then substitute $ u=\arctan(x)$, que conduce a: $$I=\int{\frac{1}{\tan(u)+u\cdot\tan^2(u)}}du$$which I've tried to solve using trigonometric identities, or even substituting $t = $ \ln(\tan(u)), sin éxito.
Respuesta
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El método hasta ahora es bueno y lo hubiera hecho también. Ahora el truco es escribir: %#% $ de #% donde hemos utilizado la conocida identidad $$\int \frac{1}{\tan(u)+u\cdot \tan^2(u)}~du=\int \frac{\cot^2(u)}{u+\cot(u)}~du=\int \frac{\csc^2(u)-1}{u+\cot(u)}~du$. Ahora sustituye $\cot^2 (\theta) \equiv \csc^2 (\theta)-1$ y así $s=u+\cot(u)$ y usted obtendrá: $ds=1-\csc^2(u)~du$ $, que es fácil de evaluar.
