Sin definir la pendiente de la tangente a las líneas de

Question

Si tomamos el implícito derivado de la $x^3+x^2-y^2=0$, nos encontramos con que $\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+2x}{2y}.$, por tanto, la pendiente de la recta tangente debe ser definida en cualquier punto, donde y es el 0.

Para mí, la línea tangente a la gráfica de la ecuación en $x=0$ no debe tener un indefinido pendiente. Parece que la función no es diferenciable en el punto de $x = 0$.

¿Cómo sabemos si el derivado implícito es indefinido debido a una inclinación vertical o debido a la ecuación de no ser diferenciable en ese punto?

Answer 1

Parece que tiene que ser mores específico acerca de lo que quieres decir acerca al $y=0$

En $(-1,0)$ tiene una tangente vertical de la línea de $x=-1$ con undefined slope.

En $(0,0)$ es correcto, no hay una definida de forma única línea tangente. Sin embargo, usted puede hacer una definida de forma única recta tangente puede parametrizar la curva. Que es $x$ $y$ sería funciones de algún parámetro, por ejemplo,$t$, entonces la curva se dibuja $(x(t),y(t))$.

En esta forma de mirar la curva, el auto de intersección serán las dos únicas $t$-valores y se puede trazar una clara línea tangente para cada uno y se ve como la pendiente de hecho serán definidas en ese caso, pero la adición de la información con la parametrización.

Editar También debo añadir que no sólo cualquier parametrización trabajará usted tendría que elegir un diferenciable uno, que es $\frac{dx}{dt}$ $\frac{dy}{dt}$ ambos existen y no son simultáneamente cero. Esto obliga a que no hay curvas cerradas a lo largo de la ruta a seguir. Así que al ofender a punto de $(0,0)$ usted necesita para asegurarse de que sigue al frente cuadrante como $t$ se hace más grande.

---

Sólo para completar lo que yo decía más arriba, he encontrado una diferenciable de la parametrización de la curva

$$ \begin{split} x&=\tan^2 t -1\\ y&=\tan^3 t- \tan t \end{split} $$

Que ha de derivados

$$ \begin{split} \frac{dx}{dt}&=2\tan t\sec^2 t \\ \frac{dy}{dt}&=3\tan^2 t \sec^2 t- \sec^2 t \end{split} $$

En el intervalo de $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$

Y el $(0,0)$ de los puntos en el gráfico se produce en el $t$valores $t=-\frac{\pi}{4}$ $t=\frac{\pi}{4}$

$$ \begin{split} \frac{dx}{dt}|_{t=\frac{\pi}{4}}&=4 \\ \frac{dy}{dt}|_{t=\frac{\pi}{4}}&=4\\ \frac{dy}{dx}|_{t=\frac{\pi}{4}}&=\frac{dy/dy|_{t=\frac{\pi}{4}}}{dx/dt|_{t=\frac{\pi}{4}}}=1 \end{split} $$

$$ \begin{split} \frac{dx}{dt}|_{t=-\frac{\pi}{4}}&=-4 \\ \frac{dy}{dt}|_{t=-\frac{\pi}{4}}&=4\\ \frac{dy}{dx}|_{t=-\frac{\pi}{4}}&=\frac{dy/dy|_{t=-\frac{\pi}{4}}}{dx/dt|_{t=-\frac{\pi}{4}}}=-1 \end{split} $$

Estoy bastante seguro de que esta curva es bien estudiado, pero no se sabe el nombre de ella y sentí como derivados algo como esto a mí mismo :)