¿Cuándo la diferenciabilidad del producto implica la diferenciabilidad de los términos individuales?

Question

Digamos que tenemos $ h(x)=f(x)\cdot g(x)$ donde $f$ y $g$ son continuos y estrictamente crecientes. Se deduce que son diferenciables en casi todas partes y también lo es $h$ . También sabemos que $f>0$ y $g>0$ . Estoy tratando de encontrar una prueba directa de que bajo estas condiciones, si $h$ es diferenciable en todas partes, entonces tanto $f$ y $g$ también son diferenciables en todas partes. Tengo más estructura en estas funciones pero esperaba que no necesitara imponer supuestos adicionales.

Answer 1

Dejemos que $f(x)=g(x)=e^x$ para $x \le 0$ mientras que para $x>0$ dejar $f(x)=1+(1/2)x$ y $g(x)=1+(3/2)x$ . Entonces $h(x)=e^{2x}$ cuando $x \le 0$ y para $x>0$ es $h(x)=1+2x+3x^2/4.$

Así que en este caso ninguno de los dos $f,g$ son diferenciables en $0$ , mientras que $h$ es diferenciable en todas partes. (Estas funciones son cada una positiva y estrictamente creciente en todas partes).

Answer 2

He aquí un feo ejemplo:

Tome $h(x) = (x+1)^6+1$ , $g(x) = 1+2x+|x|$ en $|x| \le {1 \over 2}$ .

Ahora dejemos que $f(x) = {h(x) \over g(x)}$ .

Todas son estrictamente crecientes, estrictamente positivas y continuas. $g$ (y por lo tanto $f$ ) no es diferenciable en $x=0$ .