Vaga convergencia de las medidas de

Question

Definir un subprobability medida es una medida de Borel sigma álgebra de la línea real $\mathbb{R}$ con la medida para el conjunto de la línea real menor o igual que 1.

Me preguntaba acerca de la definición de vagos convergencia de una secuencia de subprobability medidas de $\{ \mu_n, n\geq 1 \}$ a otro subprobability medida $\mu$. La convergencia puede ser definido ligeramente en dos formas diferentes como en Chung de la teoría de la probabilidad libro p85 y p90:

(1) si existe una densa subconjunto D de la línea real $\mathbb{R}$, de modo que $ \forall a \text{ and } b \in D \text{ with } a <b, \mu_n((a,b]) \rightarrow \mu((a,b])$.

(2) si existe una densa subconjunto D de la línea real $\mathbb{R}$, de modo que $ \forall a \text{ and } b \in D \text{ with } a <b, \mu_n((a,b)) \rightarrow \mu((a,b))$ (el texto original sólo dice que converge, por no mencionar que converge a$ \mu((a,b))$, lo cual supongo que puede ser añadido?).

Cómo mostrar estas dos definiciones son equivalentes?

Un lado de la cuestión: hay una definición vaga de convergencia para las medidas generales sobre más general sigma álgebra con la más general subyacente en el espacio?

Muchas gracias!

Answer 1

En mi respuesta anterior, me han demostrado que la definición (1) implica la definición (2). Ahora puedo demostrar lo contrario implicación. Supongamos que la condición de la definición (2) se mantiene. Es decir, $\mu_n ((a,b))$ converge para cualquier $a,b \in D$, $a < b$, donde $D$ es un subconjunto denso de $\mathbb{R}$. Ahora vamos a especificar el límite. Para cualquier $a,b \in D$, $a < b$, definir $$ \mu ((a,b)) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mu _n ((a,b)). $$ Desde $\mu_n$ es una secuencia de subprobability medidas (s.p.m.), $\mu ((a,b)) \in [0,1]$. A continuación, fije cualquier $a,b \in {\mathbb R}$, $a < b$. Si $a_m$ es una disminución de la secuencia convergente a $a$, e $b_m$ es un aumento de la sucesión convergente a $b$, $a_m,b_m \in D$, luego, por la última definición, $\mu ((a_m,b_m))$ es monótona creciente de la secuencia, delimitada desde arriba por $1$. Por lo tanto, esta secuencia converge, y podemos definir $$ \mu ((a,b)) = \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \mu ((a_m ,b_m )) \in [0,1]. $$ Esta realidad determina a s.p.m. $\mu$ $\mathbb{R}$ . Ahora, definir $\tilde D = \lbrace x \in {\mathbb R}:\mu (\lbrace x \rbrace ) = 0 \rbrace$ y proceder de manera similar a mi anterior respuesta, en base a $$ \mu _n ((a',b')) \le \mu _n ((a,b]) \le \mu _n ((a",b")), $$ a la conclusión de que para cualquier $a < b$ (el denso conjunto de) $\tilde D$, $\mu _n ((a,b]) \to \mu ((a,b])$.

Answer 2

Solo vamos a demostrar aquí que la definición (1) implica la definición (2) (esta es la parte fácil).

Supongamos que la condición de la definición (1) se mantiene. Es decir, $\mu_n ((a,b]) \to \mu ((a,b])$ para cualquier $a,b \in D$, $a < b$, donde $D$ es un subconjunto denso de $R$. Definir $\tilde D = \lbrace x \in R:\mu (\lbrace x \rbrace ) = 0 \rbrace$. A continuación, $\tilde D$ es denso en $R$, ya que su complemento es en la mayoría de los contables. Para cualquier $a,b \in \tilde D$, $a < b$, y $a',a'',b',b'' \in D$, $a' < b'$, $a'' < b''$, tal que $a'' < a < a'$$b' < b < b''$, tenemos $$ \mu _n ((a',b']) \le \mu _n ((a,b)) \le \mu _n ((a",b"]). $$ Por supuesto, $\mu _n ((a',b']) \to \mu ((a',b'])$$\mu _n ((a'',b''] \to \mu ((a'',b''])$$n \to \infty$. Entonces, desde el $a',a''$ $b',b''$ puede ser elegido arbitrariamente cerca de $a$$b$, respectivamente, podemos concluir que $$ \mu ((a,b)) \le \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } \mu _n ((a,b)) \le \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \mu _n ((a,b)) \le \mu ([a,b]). $$ Sin embargo, por supuesto,$\mu (\lbrace a \rbrace) = \mu (\lbrace b \rbrace) = 0$, y, por tanto,$\lim _{n \to \infty } \mu _n ((a,b)) = \mu ((a,b))$. Por lo tanto, la condición de la definición (2) satisfecho (con $\tilde D$ jugando el papel de $D$ en esa definición).

Es instructivo considerar aquí el siguiente ejemplo sencillo. Como ya es costumbre denotar por $\delta_x$ la probabilidad de medir concentrado en $x$. Definir $\mu_n = \delta_{-1/n}$, $n \geq 1$, y $\mu = \delta_0$. Entonces, para cualquier $a,b \in R$, $a < b$, tenemos $\mu _n ((a,b]) \to \mu ((a,b])$, y por lo tanto, por la definición (1), $\mu_n$ converge vagamente a $\mu$. Por otro lado, $\mu _n ((-2,0)) = 1$ cualquier $n \geq 1$, mientras que el $\mu ((-2,0)) = 0$. Sin embargo, si definimos $\tilde D$ como es arriba, a continuación,$\tilde D = R - \lbrace 0 \rbrace$, y para cualquier $a,b \in \tilde D$, tenemos $\mu _n ((a,b)) \to \mu ((a,b))$; por lo tanto, $\mu_n$ converge vagamente a $\mu$ también de acuerdo a la definición (2).

Por último, como para el OP de la observación (relativo a la definición (2)) que "el texto original sólo dice que converge, por no mencionar que converge a$ \mu((a,b))$, lo cual supongo que puede ser añadido?", está claro que estamos deliberadamente sólo dado que el $\mu_n ((a,b))$ converge -- esto es lo que hace a la inversa implicación (a partir de la definición (2) a (1)), sustancialmente, un problema más difícil.

Answer 3

Aquí es la noción general de vagos convergencia, tomado de Olav Kallenberg las Bases de la Moderna Probabilidad (2ª edición).

Deje $S$ ser localmente compacto, segundo contables de Hausdorff espacio equipado con su Borel $\sigma$campo ${\cal S}$. Deje $\hat{\cal S}$ ser el anillo de relativamente compacto conjuntos de Borel, y ${\cal M}(S)$ el espacio localmente finito no negativo de las medidas. Localmente finito significa que $\mu(B)<\infty$ al $B\in \hat{\cal S}$.

El vago de la topología en ${\cal M}(S)$ es la topología generada por las asignaciones $\mu\mapsto \int f\ d\mu$ por cada $f$ no negativo función continua con soporte compacto.

Answer 4

Intente $(a,b] = \bigcap_{c \in D, c > b} (a,c)$$(a,b) = \bigcup_{c \in D, c < b} (a,c]$.