Ejemplo de Secuencia $\{ b_n \}$ $\lim_{n \rightarrow \infty} nb_n = 0$ pero $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ diverge.

Question

Como dice el título, estoy buscando un ejemplo estrictamente a la disminución de la secuencia de números positivos con las propiedades que $$\lim_{n \rightarrow \infty} nb_n = 0$$ pero $$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$$ diverge.

Mis esfuerzos han sido infructuosos hasta el momento. Sé que nada de la forma

$$b_n = \frac{1}{n^p}$$

obras, así como de $\lim_{n \rightarrow \infty} nb_n = 0$ si $p>1$, también lo que implica que la serie converge a través de p de la prueba. También he intentado más creativo secuencias como $$b_n = \frac{\sin(\frac{1}{n})}{n}$$ pero no ha habido suerte.

Más de un ejemplo concreto, hay una cierta estrategia que debo emplear para encontrar un ejemplo? Estaba pensando en la secuencia debe ir a cero debe más rápido que $n$ va al infinito, pero no lo suficientemente rápido para que la serie converge.

Answer 1

Sugerencia :

Mira Bertrand de la serie.

Bertrand de la serie, es la serie de la forma : $$\frac{1}{n^{\alpha}(\log n)^{\beta}}$$ and you know that this serie converges only if : $\alfa > 1$ or ($\alpha = 1$ and $\beta > 1$).

Answer 2

Con $$s_n:=\sum_{k=1}^n b_k,$$ trate de lograr que $s_n\to \infty$, pero sloooowly.

Si $s_n= n$, $b_n=1$ que es demasiado grande.

Si $s_n=\sqrt n$,$b_n\sim \frac1{\sqrt n}$, lo que hace que $nb_n\sim\sqrt n$, sigue siendo demasiado grande.

Si $s_n=\ln n$,$b_n\sim \frac 1n$, sigue siendo muy grande: $nb_n\sim 1$.

En general, si $s_n=f(n)$$b_n\sim f'(n)$.

Ahora lo que si $s_n=\ln\ln n$? A continuación,$b_n\sim \frac1{n\ln n}$$nb_n\sim \frac1{\ln n}\to 0$!

Answer 3

Deje $p_n$ el valor del $n$-ésimo número primo. A continuación, $$\sum_{n\in\Bbb N}\frac{1}{p_n}=\infty\tag{1}$$

Pero $$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{p_n}=0\tag{2}$$

Para $(1)$, ver la Divergencia de la suma de los recíprocos de los números primos.

Para $(2)$, este es el Primer Número Teorema: $p_n\sim n\log n$. Véase, por ejemplo, esta discusión. Esto también es otra forma de probar la $(1)$.

Answer 4

Con la idea en esta respuesta: hay una tasa más lenta de la divergencia de una serie?

Nos pusimos $D_n = 1/n$, lo $\sum_{n = 1}^{\infty}D_n$ converge. Escribir $H_n = \sum_{k = 1}^{n}D_n$, $n$ésimo número armónico. Por último, vamos a $d_n = D_n/H_{n-1} = \frac{1}{nH_{n-1}}$. Podemos demostrar fácilmente que $d_n$ es positiva y decreciente y $nd_n \rightarrow 0$, y que la respuesta muestra que $\sum_{n = 2}^{\infty}d_n$ diverge.

Asintóticamente esta respuesta no es diferente de $b_n = \frac{1}{n\ln(n)}$ se da en otras respuestas, pero pensé que este sería un buen dato para compartir.