Duda en la argumentación en la prueba de la propiedad universal

Question

Tengo una duda respecto a un argumento utilizado para demostrar que el producto tensorial tiene efectivamente la propiedad universal, a saber, que para cualquier mapa multilineal $f:V_1\times\cdots\times V_p\to W$ si el producto tensorial es $T: V_1 \times \cdots \times V_p \to V_1 \otimes \cdots \otimes V_p$ entonces es posible encontrar un mapa lineal único $h : V_1 \otimes \cdots \otimes V_p \to W$ tal que tenemos $f = h \circ T$ .

Bueno, el argumento del autor es: dejemos $\mathcal{M}$ sea el espacio vectorial libre en $V_1 \times \cdots \times V_p$ y que $\mathcal{M}_0$ sea el conjunto generado por todos los vectores de la forma

$$(v_1,\dots,v'_i+v''_i,\dots,v_p)-(v_1,\dots,v'_i,\dots,v_p)-(v_1,\dots,v''_i,\dots,v_p)$$

$$(v_1,\dots,av_i,\dots,v_p)-a(v_1,\dots,v_i,\dots,v_p)$$

Entonces, si definimos $g : \mathcal{M} \to W$ por sus valores sobre la base de $\mathcal{M}$ estableciendo el valor de $g$ igual al valor de $f$ es decir..: $g(v_1, \dots, v_p) = f(v_1, \dots, v_p)$ entonces es bastante claro que en virtud de la multilinealidad de $f$ tenemos $g(\mathcal{M}_0)=0$ y por lo tanto $\mathcal{M}_0\subset \ker g$ . Después el autor dice: "por eso, $g$ induce el mapa $h$ ".

Dice que es por una propiedad que dice que si $f : L \to M$ y $g : L \to N$ son tales que $\ker f \subset \ker g$ entonces hay $h : N \to M$ tal que $g = f\circ h$ Sin embargo, no veo dónde encaja esta proposición en este caso.

¿Puede alguien aclarar el argumento del autor?

Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Si tenemos una relación de equivalencia $\sim$ en un conjunto $A$ y considerar el conjunto cociente $A/\sim$ , entonces una función $f:A\to B$ a través de la suryección canónica $A\to A/\sim$ si y sólo si $\forall x,y\in A:\, x\sim y\Rightarrow f(x)=f(y)$ .

En el caso de grupos (abelianos) o espacios vectoriales, las relaciones de equivalencia que preservan la estructura $\sim$ corresponden a subgrupos / subespacios (normales) $H$ definiendo $$a\sim b \iff a-b\in H\,.$$

Answer 2

Usted tiene $g : \mathcal{M} \to W$ y $\pi : \mathcal{M} \to \mathcal{M} / \mathcal{M}_0$ (con la intención de establecer $V_1 \otimes \cdots \otimes V_p := \mathcal{M} / \mathcal{M}_0$ ).

Como $\ker \pi = \mathcal{M}_0 \subseteq \ker g$ hay $h: \mathcal{M} / \mathcal{M}_0 \to W$ con $g = h \circ \pi$ .

Eso debería responder a su pregunta, para completar la construcción puede necesitar lo siguiente:

Si $\iota: V_1\times\cdots\times V_p \to \mathcal{M}$ era la incrustación obvia, establecer $T := \pi \circ \iota$ . Es necesario demostrar que $T$ es multilineal, utilizando las propiedades de $\mathcal{M}_0$ .

Como $\iota(V_1\times\cdots\times V_p)$ abarca $\mathcal{M}$ , $T(V_1\times\cdots\times V_p)$ abarca $\mathcal{M}/\mathcal{M}_0$ y, por lo tanto, sólo uno $h$ existe con $f = h \circ T$ .