Prueba en tres pasos de la divergencia de $\sum_{p\in \mathbf{P}} \frac{1}{p}$

Question

En mi esquema de Teoría de Números dice:

1. Demostrando que hay como máximo $(1+\frac{\log n}{\log 2})^{\pi(x)}$ números con $m\le n$ que sólo son divisibles por números primos $p\le x$ .

2. Demostrando que hay como máximo $\sum_{x<p\le n} \frac{n}{p}$ números $m\le n$ que son divisibles por al menos un primo con $p\le x$ .

3. Con 1. y 2. podemos concluir que $\sum_{p\in \mathbf{P}} \frac{1}{p}$ es divergente si no se elige x con $\sum_{p>x} \frac{1}{p} < \epsilon \le \frac{1}{2}$ y luego $n\le (1+\frac{\log n}{\log 2})^{\pi (x)} + \epsilon n$ se sigue para todo n.

¿Cómo podemos mostrar 1. y 2.? ¿Y cómo concluye mi profesor en la 3?

Answer 1

1. Un número inferior a $n$ tiene menos de $(1+\frac{\log n}{\log2})$ factores primos (cada factor primo es al menos 2) y hay como máximo $\pi(x)$ opciones para cada factor primo.
2. Hay $\lfloor\frac{n}{p}\rfloor$ números divisibles por $p$ por lo que hay como máximo $\sum_{x<p\le n}\frac{n}{p}$ con un factor primo mayor o igual a $x$ como $\lfloor\frac{n}{p}\rfloor\le\frac{n}{p}$ .
3. Las cifras inferiores a $n$ pueden dividirse en dos grupos, los que tienen un factor primo mayor que $x$ y los que tienen todos los factores primos menores que $x$ . Para el primer grupo, por 2. obtenemos que hay a lo sumo
   $$\sum_{x<p\le n}\frac{n}{p}=n\sum_{x<p\le n}\frac{1}{p}<\epsilon n$$ números que tienen un factor primo mayor que $x$ . Para el segundo grupo, por 1. sabemos que hay a lo sumo $(1+\frac{\log n}{\log 2})^{\pi(x)}$ números que no tienen un factor primo mayor que $x$ . Así que como hay $n$ enteros positivos como máximo $n$ tenemos que $n<(1+\frac{\log n}{\log 2})^{\pi(x)}+\epsilon n$ . Para ver que esto demuestra que la suma de $\frac{1}{p}$ diverge, obsérvese que para un $x$ , $(1+\frac{\log n}{\log 2})^{\pi(x)}$ es $o(n)$ Así que para un tamaño suficientemente grande $n$ $n>(1+\frac{\log n}{\log 2})^{\pi(x)}+\epsilon n$ si $\epsilon \le\frac{1}{2}$ Así que no podemos encontrar un $x$ tal que $\sum_{p>x}\frac{1}{p}<\frac{1}{2}$ . En otras palabras $\sum_{p\in P}\frac{1}{p}$ diverge.