Segundo Derivados Del Uso Implícito De La Diferenciación

Question

Según mi libro de texto, la segunda derivada de

\begin{equation*} y^{2}+xy-x^{2}=9 \end{ecuación*}

es

\begin{equation*} \frac{90}{(2y+x)^{3}}. \end{ecuación*}

El problema de estados unidos "Express $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ en términos de$x$$y$." Yo lo he probado durante dos días seguidos ahora, y yo no puedo conseguir esa respuesta. Estoy convencido de que el libro tiene un error tipográfico.

Answer 1

Basado en su trabajo como vinculados en los comentarios de J. M. de la respuesta, ha casi lo consiguió (a excepción de un error tipográfico en la diferenciación de *: hay un dy/dx donde debería haber un d/dx, pero las matemáticas que sigue es correcta como si se tratara de d/dx). El numerador tiene es $$\begin{align} -2 ((2 x - y)^2 &+ (2 x - y) (2 y + x) - (2 y + x)^2) \\ &=-10x^2+10xy+10y^2 \\ &=10(y^2+xy-x^2) \\ &=10\cdot9 \\ &=90. \end{align}$$

Answer 2

Sugerencia: tratar a $y$ como una función de $y(x)$, por lo que la diferenciación $xy(x)$ debe dar algo como $x y^{\prime}(x)+y(x)$. Diferenciar las expresiones dos veces, y resolver para $y^{\prime\prime}(x)$