He visto que el automorphism grupo de la Sanguijuela de celosía es el Conway grupo $\ Co_0$, que es un grupo finito.
Pero, por ejemplo, el entramado $\mathbb Z^n$ tiene una infinita automorhism grupo. ¿Alguien puede explicar a mí, ¿cuál es la diferencia entre estos dos celosías, que se traduce en la (en)la finitud de sus respectivos automorphism grupos?
Respuestas
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Usted está confuso isometrías de un enrejado, y isometrías de fijación la identidad. Cada celosía en $\Bbb R^n$, considerado como un conjunto de puntos, tiene infinitamente muchos isometrías, ya que cada traducción por parte de un entramado de vectores es una isometría.
Lo que es más interesante es el estudio de las isometrías que fijar el origen. Ellos forman un grupo finito, siempre que no triviales, como el mapa de $x\mapsto-x$ es un (central) isometría. La primera Conway grupo es obtenida por la toma de el grupo de Sanguijuela de celosía de isometrías de fijación $0$, y factorizando los dos-grupo de elementos generados por $x\mapsto-x$.
En $\Bbb Z^n$ el grupo de isometrías de fijación $0$ $2^nn!$ elementos, y el monomio matrices con un valor distinto de cero entradas $1$ o $-1$.
Per Hornshøj-Schierbeck
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Puedo estar equivocado, pero tengo la sospecha de que aquí vamos a considerar automorfismos de un entramado como subconjuntos de un espacio Euclidiano, y por lo tanto asumir un automorphism a ser también una isometría. A menos que me equivoque que estaban pensando automorfismos de abelian grupos. Pero, como abelian grupos de la Leetch celosía y $\Bbb{Z}^{24}$ son isomorfos. Sólo se diferencian en sus propiedades métricas. En mi opinión esto apunta fuertemente a los grupos de isometrías son pertinentes aquí. Para obtener grupos finitos también se asume que el origen es un punto fijo.
En que la interpretación de un automorphism de $\Bbb{Z}^n$ está totalmente determinado por su acción sobre la corta duración de 1 vectores. Por lo tanto, los automorfismos de a $\Bbb{Z}^n$ formar el grupo $C_2\wr S_n$ de firmado permutaciones (de coordenadas).
