Cómo muchas de las soluciones no $\cos x + \cos (2x) + \cos (3x) +\cos (4x) = -\frac{1}{2}$ tiene en $[0,2\pi]$?

Question

Yo simplificar a $\cos x(\cos (2x)+\cos (3x))=-\frac{1}{4}$, pero no saben cómo ir más allá.

Answer 1

La identidad de $\cos a \sin b = \dfrac 12 \bigg( \sin(a+b) - \sin(a-b) \bigg)$ es aplicable aquí. Multiplicar ambos lados por $\sin \frac x2$ conseguir $$\sum_{k=1}^4 \cos kx \sin \frac x2 = - \frac 12 \sin \frac x2$$ y aplicar la identidad: $$\frac 12 \sum_{k=1}^4 \left( \sin (k+ \frac 12)x - \sin(k - \frac 12)x \right) = - \frac 12 \sin \frac x2.$$ The sum on the left telescopes and you end up with $$\sin \frac 92 x - \sin \frac x2 = - \sin \frac x2.$$ This reduces to $$\sin \frac 92 x = 0$$ so that $$x = \frac{2n\pi}{9}.$$

EDIT: una solución a la $$\sum_{k=1}^4 \cos kx \sin \frac x2 = - \frac 12 \sin \frac x2$$ is a solution to either $$\sum_{k=1}^4 \cos kx= - \frac 12 \quad \text{or} \quad \sin \frac x2 = 0.$$

Un número $x$ es solución de la segunda ecuación si y sólo si $x = 2k\pi$, $k \in \mathbb N$, y además no hay ningún número de este formulario es una solución de la primera ecuación ya que la suma sería necesariamente igual a $4$. Por lo tanto las soluciones de la ecuación original se $$x = \frac{2n\pi}{9},\quad n \in \mathbb N,\quad n \not\equiv 0 \bmod 9.$$

Answer 2

También puede seguir adelante con su idea:

$$\cos x (\cos 2x + \cos 5x)=-1/4 \rightarrow \cos(x/2)\cos(x)\cos(5x/2)=-1/8$$

Ahora multiplique ambos lados por $\sin (x/2)$:

$$\sin(x/2)\cos(x/2)\cos(x)\cos(5x/2)=(-1/8)\sin(x/2)$$

$$\sin(x)\cos(x)\cos(5x/2)=(-1/4)\sin(x/2)$$

$$\sin(2x)\cos(5x/2)=(-1/2)\sin(x/2)$$

$$\sin(9x/2)-\sin(x/2)=-\sin(x/2)\rightarrow \sin(9x/2)=0$$

$$9x/2=k\pi \rightarrow x= \frac{2k\pi}{9}$$