Integrar sobre una función algo continua

Question

Tengo una función $q(t)$ que comienza en $q(0)=q_0$ y necesita llegar a $q(1)=q_1>q_0$ . Tengo un parámetro libre $z$ que puedo mover para controlar $q'(t)$ . En concreto, tengo una función $$q'(t)=Q(t,q(t),z)>0.$$ Sé que $\forall t$ , $\forall q(t)$ , $\lim_{z \rightarrow -\infty}Q(t,q(t),z)=0$ y $\lim_{z \rightarrow +\infty}Q(t,q(t),z)=+\infty$ . Sé que $Q(t,q(t),z)$ está aumentando en $z$ .

1) ¿Entiendo correctamente que, si $Q(t,q(t),z)$ es continua en $z$ Siempre puedo encontrar $z$ de tal manera que golpearé exactamente $q(1)=q_1$ ? ¿Es obvio, o hay que hacer algún tipo de prueba?

2) Mi $Q(t,q(t),z)$ no es continua en $z$ pero los saltos, si se producen, sólo se producen hacia arriba, y no son "frecuentes" en el sentido de que si hay un salto para un determinado $z$ en un determinado $t$ y $q(t)$ no hay salto para todos $z$ en un pequeño barrio de mi $z$ para el mismo $t$ y $q(t)$ . Todavía puedo argumentar que siempre puedo golpear $q(1)=q_1$ ? Quiero decir, mi $Q(t,q(t),z)$ sigue siendo continua donde no hay saltos...

2.1) ¿Ayudaría si pudiera imponer que, genéricamente, si $Q(t,q(t),z)$ tiene un salto en $z$ para un determinado $t$ y $q(t)$ , $Q(t,q(t)+\varepsilon,z)$ es localmente continua en el mismo $z$ ?

3) Mi $Q()$ resulta ser continuamente diferenciable, excepto en los puntos en los que salta. Eso implica probablemente la continuidad de Lipschitz en casi todas partes, lo que garantiza la existencia de la solución del problema de valor inicial si parto de $q(0)=q_0$ ? upd Probablemente sólo pueda preocuparme por $q\in[q_0+\infty)$ , en cuyo caso mi $Q()$ está acotado, y por lo tanto la diferenciabilidad continua en $q$ que tengo, es suficiente para ser Lipschitz?

4) Este tipo ( http://www.math.washington.edu/~burke/crs/555/555_notas/continuidad.pdf p23) dice que para la continuidad en $z$ Mi $Q$ debe tener una constante de Lipschitz independiente de $z$ . ¿Bastaría la acotación y la diferenciabilidad continua para obtener una constante de Lipschitz independiente de z?

Answer 1

Bien, para su pregunta 2.0, he aquí un contraejemplo:

Contraejemplo para 2.0 : Definir $q_0=1, q_1=2$ . Definir $f(z)$ de la siguiente manera: $$ f(z) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 &\mbox{ if $z < \ln(4)$} \\ z& \mbox{ if $z\geq \ln(4)$} \end{array} \right.$$ Definir $Q(t,q,z) = f(z)q$ . Entonces $\lim_{z\rightarrow\infty} Q(t,q,z)=\infty$ y $\lim_{z\rightarrow-\infty} Q(t,q,z) = 0$ y sólo tenemos una discontinuidad de salto en $z=\ln(4)$ . Pero la solución de la EDO es $q(t) = q(0)e^{f(z)t}$ . Así que $q(1) = q(0)=1$ si $z < \ln(4)$ y $q(1) = e^{f(z)}\geq 4 > 2$ si $z\geq \ln(4)$ .

Answer 2

Contraejemplo para la pregunta 1: sea $Q = (1 + \cos^2{q})F(z)$ , donde $F$ es cualquier función que satisfaga sus condiciones. Da $q = \arctan(\sqrt{2}\tan(\sqrt{2}(Ft + c)))$ que tiene un alcance limitado.