Puede que sea una pregunta tonta, pero no consigo entenderlo. Quiero demostrar que
$ \Big\vert \frac{\sin(x)}{x} \Big\vert \leq 1 $ para $x\in[-1,0)\cup(0,1]$ ,
pero no sé ni por dónde empezar.
Pues bien, se trata de un argumento potencialmente circular, ya que para calcular la derivada de la función seno, se necesita el límite del lado izquierdo de la expresión en cuestión.
Esto es una lógica potencialmente circular. Se necesita información sobre $\frac{\sin(x)}{x}$ para demostrar que la derivada de $\sin$ es $\cos$ .
Si haces un dibujo, parece que podemos usar el triángulo con puntos $A =(\cos(x),\sin(x))$ , $B = (1,0)$ , $C = (\cos(x),0)$ . $AC$ tiene una longitud $\sin(x)$ y $AB$ es la hipotenusa. Así que $AC$ es más largo que $\sin(x)$ . Pero entonces, como el camino más corto que une dos puntos es una línea recta, debemos tener $|AB| \leq x$ . Así que obtenemos $|\sin(x)| \leq |x|$ cuando $x$ está en el rango $(-\pi/2, \pi/2)$ .
Una prueba geométrica sencilla:
Consideremos el círculo unitario, centrado en $O$ con origen $A(1,0)$ y el punto $M$ en el círculo unitario tal que $\overset{\displaystyle\frown}{AM}=x$ . Entonces $$\text{triangle } OAM \subset \text{circle sector }OAM $$ por lo que $$\text{area tr. }OAM=\frac12\lvert\sin x\rvert\le \text{area c. sect.}OAM=\frac12\lvert x\rvert.$$
¿Cómo se conoce la fórmula de superficie de un sector? Creo que también se reduce a conocer este límite.
Eso es geometría de bachillerato: el área de un sector del círculo con ángulo $\theta$ y el radio $r$ es $\frac12\theta\, r^2$ . Es la misma fórmula que la de los triángulos: basta con pensar en un sector del círculo como un triángulo curvilíneo, con la base el arco y la altura un radio; .Para $x=2\pi$ se obtiene el área de un disco. Detrás de todo esto, está la longitud de un arco como límite de lrngths de polígono inscrito, eso es todo. Es la base de una prueba de alta schhol que la derivada de $\sin x$ es $\cos x$ .
Sí, estoy de acuerdo con tu afirmación sobre la definición de la longitud de arco. Por eso me parece un poco raro saltar a las áreas, cuando la longitud de arco la da directamente.
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En estas respuestas , encontrará varias formas de ver este límite y más.