Considere la posibilidad de la Cox-Ingersoll-Ross (CIR) de la tasa de interés de modelo: $\displaystyle d r_t = \kappa (\theta - r_t) \, d t + \sigma \sqrt{r_t} \,d W_t$ donde $\kappa$, $\theta$, $\sigma$ son constantes positivas y $W_t$ es un estándar de movimiento Browniano.
Una solución a la CIR diferenciales estocásticas ecuación está dada por: $$ r_t = \theta + (r_0 - \theta) e^{-\kappa t} + \sigma e^{-\kappa t} \int_0^t e^{\kappa u} \sqrt{r_u} \,d W_u.$$
Desde $\displaystyle d W_u \sim N(0, du)$ es fácil derivar que:
$$\mathrm{E}\left[r_t\right] = \theta + (r_0 - \theta) e^{-\kappa t}.$$
Sin embargo, estoy atascado en la derivación de la varianza. Llegué tan lejos como a continuación. Alguien sabe cómo solucionar para la varianza?
Gracias.
Mi derivación hasta el momento:
$$ \operatorname{Var}\left[r_t\right] = \mathrm{E}\left[\left\{r_t - \mathrm{E}\left(r_t\right)\right\}^2\right] = \sigma^2 e^{-2 \kappa t} \mathrm{E}\left[\left\{\int_0^t e^{\kappa u} \sqrt{r_u} d W_u\right\}^2\right].$$
Qué hacer con la plaza de la integral? La solución que encontré estados:
$$ \sigma^2 e^{-2 \kappa t} \mathrm{E}\left[\left\{\int_0^t e^{\kappa u} \sqrt{r_u} \,d W_u\right\}^2\right] = \sigma^2 e^{-2 \kappa t} \int_0^t e^{2 \kappa u} \mathrm{E}\left(r_u\right) \,d u$$
y sigue adelante desde aquí. Pero no entiendo cómo puede tomar la plaza dentro de la integral.
