Definición de un toroide $T$ como $S^1 \times S^1$ se deduce que $T \subseteq \mathbb{R}^4$ . Pero también se puede pensar en un toroide como un bagel, lo que significa que es un subconjunto de $\mathbb{R}^3$ . ¿Puede alguien aclarar este punto?
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YequalsX
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Se trata de dos incrustaciones diferentes del mismo espacio topológico, es decir, la superficie del panecillo en $\mathbb R^3$ y el producto de dos círculos en $\mathbb R^4$ son homeomórficos. Sin embargo, nótese que no son isométricos; el toro incrustado en $\mathbb R^4$ como producto de círculos es plano mientras que la superficie del bagel tiene regiones de curvatura positiva y de curvatura negativa.
Jay Stramel
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¡Ni lo uno ni lo otro! Un toroide es un espacio topológico abstracto definido, como usted dice, como el producto $S^1 \times S^1$ . Ya que, como es el caso, $S^1 \subset \mathbb{R}^2$ obtenemos una incrustación natural de "el" toro en $\mathbb{R}^4$ . Sin embargo, hay, por supuesto, otras formas de representar este espacio; se pueden cambiar las coordenadas, aplicarle funciones, etc. Y entre estas alteraciones hay algunas que "proyectan" el toro hacia abajo en $\mathbb{R}^3$ donde se asemeja a un panecillo.
Se trata de una pequeña aberración, ya que no todas las variedades bidimensionales se pueden incrustar en $\mathbb{R}^3$ La botella de Klein es un contraejemplo (además, esto está relacionado con tu pregunta en el sentido de que es más o menos un toro retorcido). Y más generalmente, un $n$ -puede ser incrustada en $\mathbb{R}^{2n}$ pero no necesariamente inferior. Por lo tanto, si se insiste en pensar que un colector "es" un subconjunto de algún $\mathbb{R}^N$ es la que hay que elegir.
clintp
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Tampoco. El toroide se define generalmente como un abstracto espacio topológico independientemente de cualquier "incrustación" en otro espacio. Por tanto, en sentido estricto, es incorrecto decir $T\subseteq \mathbb R^4$ o $T\subseteq \mathbb R^3$ .
Sin embargo, a menudo hablamos de espacios abstractos como el toroide como subconjuntos de otros espacios, comúnmente $\mathbb R^n$ para algunos $n$ . ¿Cómo se resuelve esto? La respuesta es algo llamado incrustación . Decimos que un espacio $A$ se puede incrustar en un espacio $B$ si existe una función continua $f:A\to B$ que mapea $f$ de forma inyectiva en un subconjunto de $B$ , de tal manera que $f$ restringido a $B$ tiene una inversa continua en la topología del subespacio $^1$ . Lo que estás notando es que hay incrustaciones del toro en $\mathbb R^3$ y $\mathbb R^4$ .
- Tenga en cuenta que esto es para topológico espacios. Si añadimos una estructura adicional al espacio, se requiere que la incrustación preserve esta estructura de forma adecuada. Por ejemplo, es habitual dotar al toro de una estructura de colectores, y entonces se requiere que la incrustación sea una incrustación de colectores, lo cual es algo complicado de definir. Dependiendo de la estructura adicional impuesta, el toro puede no incrustarse en $\mathbb R^3$ como señala Matt.
