Lo que es una forma inteligente de mostrar que si $0 \leq x \leq 1$ $x^n \leq x$ por cada $n > 1$ ? ($n \in \mathbb{R}$)

Question

Lo que es una forma inteligente de mostrar que si $0 \leq x \leq 1$ $x^n \leq x$ por cada $n > 1$ ? ($n \in \mathbb{R}$)
Traté de hacerlo con derivados, pero no he podido mostrar por qué esto es cierto...

Answer 1

Para $0 < x \le 1$, $$ \dfrac{d}{dn} x^n = \dfrac{d}{dn} \exp(n \log(x)) = \log(x) \exp(n \log(x)) \le 0$$ debido a $\log(x) \le 0$ mientras $\exp(n \log(x)) > 0$. El caso $x=0$ por separado.

Answer 2

Vamos $g(n) = x^n $.

$g(n) = e^{n \ln(x)} $, así $g'(n) =\ln(x) e^{n \ln(x)} =\ln(x) x^n $.

Desde entonces, si $0 < x < 1$, $\ln(x) < 0$ y $x ^ n > 0$, $g'(n) < 0 $ por lo $g(n)$ es la disminución de $0 < x < 1$.

Por lo tanto, si $n > 1$, $g(n) < g(1)$ o $x^n < x$.

Answer 3

Tenga en cuenta que $a \leq b$ $c \geq 0$ implica $ac \leq ab$. Una manera de ver esto: tenemos $(b-a)c \geq 0$, como producto de dos números negativos, por lo tanto $bc \geq ac$.

Ahora, asumiendo $0 \leq x \leq 1$ podemos usar la regla de arriba y encontrar las $x^2 \leq x$. Repita el tiempo necesario: $x^3 \leq x^2$,$x^4 \leq x^3$, y así sucesivamente. Por lo tanto, para cada entero $n \geq 1$ hemos $$ x^n \leq x^{n-1} \leq x^{n-2} \leq \cdots \leq x^2 \leq x \leq 1.\tag*{(1)} $$

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Edit: he dejado de leer los comentarios, ya se estaban preguntando acerca de los valores reales de a $n$, no sólo números enteros. Las otras respuestas muestran cómo se aplican las técnicas de cálculo para demostrar el resultado general. Así que voy a ser terco e intentar salvar mi algebraicas solución. Esta no es la solución más fácil.

El siguiente paso es probar el resultado racional de los valores de $n$, utilizando el resultado para los valores enteros de a $n$. Escribir $n = \frac{a}{b}$$a,b\in\mathbb{Z}$$a \geq b \geq 1$. Tenga en cuenta que $x^{\frac{1}{b}} \leq 1$ debe tener, por lo contrario, tendría que $$ x \: = \: \underbrace{x^{\frac{1}{b}}\cdots x^{\frac{1}{b}}}_{b\ \text{times}} \: > \: 1, $$ como producto de la $b$ números reales cada estrictamente mayor que $1$. Esto es una contradicción, por asumimos $x \leq 1$, por lo que se deduce que el $x^{\frac{1}{b}} \leq 1$ mantiene, como se había prometido. Por supuesto, también tenemos $x^{\frac{1}{b}} \geq 0$, no importa que la construcción se utiliza para definir $x^{\frac{1}{b}}$. Por lo tanto, por (1) tenemos $$ x^n = x^{\frac{a}{b}} \leq x^{\frac{a-1}{b}} \leq \cdots \leq x^{\frac{b+1}{b}} \leq x \leq x^{\frac{b-1}{b}} \leq \cdots \leq x^{\frac{2}{b}} \leq x^{\frac{1}{b}} \leq 1.\tag*{(2)} $$ Esto demuestra que la desigualdad de $x^n \leq x$ tiene para todos los racionales $n \geq 1$.

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Finalmente, para extender el resultado a todas las $n > 1$, tenemos que usar algo de continuidad. El mapa de $f_x : \mathbb{R}_{>1} \to \mathbb{R}$ $f_x(n) = x^n$ es continua. Ahora vamos a $n\in\mathbb{R}_{>1}$ ser dado. Elegir alguna secuencia $\{m_k\}_{k=1}^\infty$ de los números racionales en $\mathbb{R}_{>1}$ que converge a $n$. Por continuidad tenemos $$ x^n = \lim_{k\to\infty} x^{m_k}. $$ Cada término de esta secuencia se encuentra en el intervalo cerrado $[0,x]$, por lo que el límite debe también estar en ese intervalo. En particular, se ha $x^n \leq x$.

Answer 4

Si $p > 0$, entonces la función de $f(t) = t^p$ es el aumento en $[0,\infty)$. Usted puede comprobar esto mediante la primera derivada. Por lo tanto si $0 \le x \le 1$$0 \le x^p \le 1$.

Si $n > 1$$p - 1 > 0$, de modo que $$ 0 \le x \le 1 \implies 0 \le x^{n-1} \le 1 \implies 0 \le x^n \le x.$$

Answer 5

El uso de la inducción en $n$:

• $n=1$: ok

• $n \to n+1$: Por inducción, $x^n \le x$. Multiplicar por $x \le 1$ y consigue $x^{n+1} \le x$. Tenga en cuenta que $x\ge0$ es esencial aquí.