Tal vez esto podría ayudar..
Si usted escribe las sumas que usted conseguirá.
$$\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{b_i}=\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}$$
Y
$$\frac{\sum_{i=1}^{n}{a_i}}{\sum_{i=1}^{n}b_i}=\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n}$$
Como usted puede ver, usted tiene que encontrar las secuencias donde..
$$\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n}=\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}$$
Ahora supongamos $\sum_{i=1}^\infty a_i$ $\sum_{i=1}^\infty b_i$ convergen. Eso no quiere decir $\sum_{i=1}^\infty \frac{a_i}{b_i}$ convergerán. Acaba de sustituir a $a_i={\frac{1}{2}}^i$$b_i=\frac{1}{3}^{i}$. Usted encontrará que
$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\frac{1}{2^i}}{\frac{1}{3^i}}\neq\frac{\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^i}}{\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{3^i}}$.
Rara vez la convergencia de las secuencias en la forma de ser de la misma. Así que no veo mucho potencial con la comparación de $\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{b_i}$$\frac{\sum_{i=1}^{n}{a_i}}{\sum_{i=1}^{n}b_i}$.
EDITAR:
Si tanto $\sum_{i=0}^{\infty}a_i$ $\sum_{i=0}^{\infty}b_i$ diverge, pero la suma de $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{a_i}{b_i}$ converge, a continuación, en la mayoría de los casos $\frac{\sum_{i=0}^{\infty}a_i}{\sum_{i=0}^{\infty}b_i}$ $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{a_i}{b_i}$ no tienen el mismo valor. Mientras que $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{a_i}{b_i}$ la mayoría va a converger a un número mayor que cero , $\frac{\sum_{i=0}^{\infty}a_i}{\sum_{i=0}^{\infty}b_i}$ serán en su mayoría converge a cero(si $\lim_{i\to\infty}\frac{a_i}{b_i}=0$) o $\infty$ ($\lim_{i\to\infty}\frac{a_i}{b_i}=\infty$).
Sin embargo, si su uso de la aritmetic decir, donde $$\lim_{i\to\infty}\frac{a_i}{b_i}=c$$ then yes. $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n \frac{a_i}{b_i}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=0}^n {a_i}}{\sum_{i=0}^{n}b_i}$$
Esto es fácil de demostrar, porque si $\lim_{i\to\infty} \frac{a_i}{b_i}=c$ a continuación se obtienen $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}c$ con parciales de la fórmula de la suma como $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}(cn)=c$. Como para $\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=0}^{n}{a_i}}{\sum_{i=0}^n b_i}$ debemos tratar esto como el límite de una función dividida por otra función. Si $\lim_{i\to\infty}\frac{a_i}{b_i}=c$, entonces la poportion es el uso de $\lim_{i\to\infty}a_i=c\lim_{i\to\infty}(b_i)$ e lo $\frac{\sum_{i=0}^{\infty}a_i}{\sum_{i=0}^{\infty}b_i}=\frac{c\sum_{i=0}^{\infty}(b_i)}{\sum_{i=0}^{\infty}b_i}=c$
En este caso, usted puede utilizar esta identidad al $a_i$ $b_i$ casi el mismo o tengan su límite de relación de enfoque de cero. Identidades o teoremas debe hacer problemas matemáticos simples. En el mejor de suma indentities en ambos lados de la ecuación se aplican a una amplia gama de tipos de funciones, no sólo sean específicos de las instancias. Esto es similar a la comparación de $\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{2^x}$. Ambos convergen al mismo límite, pero la comparación de ambos no se hacen problemas, ya sea más fácil
