Demostrando un coeficiente binomial de identidad

Question

Estoy teniendo algunos problemas con la siguiente prueba: $$\sum^k_{a=0} {{n}\choose{a}}{{m}\choose{k-a}} = {{n+m}\choose{k}}$$

Estoy tratando de demostrar que esta para aprender un par de cosas sobre el triángulo de Pascal. No sé por dónde empezar en la prueba. He tratado de expansión de ambos lados, utilizando el coeficiente binomial de la propiedad, pero no han tenido suerte.

Answer 1

Esto se llama Vandermonde de la identidad. Para demostrarlo, escribir $(1+x)^{n+m}=(1+x)^n(1+x)^m$ y mirar el coeficiente de $x^k$ en ambos lados.

Answer 2

Supongamos que usted necesita para elegir a $k$ elementos de un máximo de $n+m$. Dividir el total de la lista en el primer $n$ y el restante $m$. Su elección debe consistir $a$ a partir de la primera parte (donde $a\in \{0,\cdots k\}$) y $k-a$ a partir de la segunda parte. Por el contrario, cualquiera de las dos colecciones se combinan para dar una valiosa colección de $k$.

Answer 3

El RHS cuenta el número de maneras de seleccionar un comité de $k$ de las personas de $n$ mujeres y $m$ hombres.

La expresión $$\binom{n}{a}\binom{m}{k - a}$$ cuenta el número de maneras de seleccionar un comité de $k$ de la gente que consta de $a$ mujeres y $k - a$ hombres seleccionada seleccionada de un grupo que consiste de $n$ mujeres y $m$ hombres. Por lo tanto, la suma en el lado izquierdo cuenta a todas las formas de selección de un comité de $k$ de las personas pueden ser seleccionados de $n$ mujeres y $m$ hombres.