Diferenciar $\sqrt{1+e^x}$ utilizando la definición de un derivado

Question

Este es el progreso que he hecho hasta ahora.

$$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+e^{x+h}}-\sqrt{1+e^{x}}}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} \frac{\left(1+e^{x+h}\right)-\left(1+e^{x}\right)}{h\left(\sqrt{1+e^{x+h}}+\sqrt{1+e^{x}}\right)}$$

$$= \lim_{h \to 0} \frac{e^x\left(e^h-1\right)}{h\left(\sqrt{1+e^{x+h}}+\sqrt{1+e^{x}}\right)}$$

$$= \lim_{h \to 0} \frac{e^x\left(e^h-1\right)}{h\left(\sqrt{1+e^{x+h}}+\sqrt{1+e^{x}}\right)}$$

$$= \lim_{h \to 0} \frac{e^x}{\sqrt{1+e^{x+h}}+\sqrt{1+e^{x}}} \frac{e^h-1}{h}$$

Puedo ver cómo, cuando h tiende a 0 la fracción de la izquierda tienden a el resultado deseado, pero no estoy seguro de cómo tratar con la fracción de la derecha.

Answer 1

En ESTA RESPUESTA, me mostró el uso de sólo el límite de la definición de la función exponencial y la Desigualdad de Bernoulli que la función exponencial satisface las desigualdades

$$1+x\le e^x\le \frac{1}{1-x} \tag 1$$

para $x<1$. Entonces, tenemos

$$1\le \frac{e^h-1}{h}\le \frac{1}{1-h}$$

con lo cual, aplicando el teorema del encaje, se obtiene el codiciado límite.

Y en ESTA RESPUESTA, me mostró el uso de las desigualdades en $(1)$ que

$$\lim_{h\to 0}\frac{b^h-1}{h}=\log(b)$$

para $b>0$. Dejando $b=e$ inmediatamente se da

$$\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$$

Answer 2

sugerencia de uso $\lim_{h\to 0}(1+h)^{1/h}=e$ por lo que podemos utilizar esta aproximación y obtenga $e^h \approx (1+h)$ y, a continuación, sustituir el valor de $h=0$ y obtener la respuesta $1$!

Answer 3

$$\lim_{h \to 0} \frac{e^x}{\left(\sqrt{1+e^{x+h}}+\sqrt{1+e^{x}}\right)} \cdot \frac{\left(e^h-1\right)}{h}$$

Desde $$e^h=\frac{h^0}{0!}+\frac{h}{1!}+\frac{h^2}{2!}+\frac{h^3}{3!}+......$$

$$e^h=1+\frac{h}{1!}+\frac{h^2}{2!}+\frac{h^3}{3!}+......$$

$$e^h-1= \frac{h}{1!}+\frac{h^2}{2!}+\frac{h^3}{3!}+......$$

$$\frac{\left(e^h-1\right)}{h}= \frac{1}{1!}+\frac{h}{2!}+\frac{h^2}{3!}+......$$

Por lo tanto $$\lim_{h \to 0}\frac{\left(e^h-1\right)}{h}= 1$$