Cómo definir una taxonomía de no asociativo de las operaciones?

Question

Deje $A$ ser un conjunto, y deje $a,b,c\in A$. Vamos también a $\circ: A\times A\rightarrow A$ ser una operación binaria en $A$. Estamos de acuerdo, como de costumbre escribir $a\circ b$ a la media de $\circ(a,b)$.

Decimos que $\circ$ es asociativa si por cualquier $a,b,c\in A$ el siguiente se tiene: \begin{equation} (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c) \end{equation} Eso está bien, pero teniendo en cuenta tres elementos en $A$ hay muchas maneras para que los componen. En particular, se pueden calcular los siguientes $12$ composiciones: \begin{equation} (a\circ b)\circ c\qquad\qquad a\circ (b\circ c)\\ (a\circ c)\circ b\qquad\qquad a\circ (c\circ b)\\ (b\circ a)\circ c \qquad\qquad b\circ (a\circ c) \\ (b\circ c) \circ a \qquad\qquad b\circ (c \circ a) \\ (c\circ a)\circ b \qquad\qquad c\circ (a\circ b) \\ (c\circ b)\circ a \qquad\qquad c\circ (b\circ a) \end{equation} Ellos son, por supuesto, $12$ porque estamos permuting $3$ objetos y para cada permutación tenemos $2$ formas de poner significativa entre paréntesis, por lo $3!\cdot 2 = 12$. La asociatividad significa que identificamos la primera (arriba a la izquierda) objeto con el segundo (arriba a la derecha); esto tiene un fuerte significado para nosotros porque es habitual en los campos de número ($\mathbb{R},\mathbb{C}$) se comportan de esta manera.

Mi pregunta es: ¿qué sucede si identificamos la primera relación con una diferente tomado de la otra $11$? Hay algunos relevantes (es decir, estudiado en la literatura) ejemplos de este tipo de estructuras? Los únicos ejemplos que pude encontrar de no estructuras asociativas como este son definidos sobre los objetos más complejos, por ejemplo el producto cruzado de $\mathbb{R}^3$ o, en general, una Mentira soporte no es asociativa, pero es definida sobre un espacio vectorial. Ni siquiera sé exactamente qué buscar para organizar mis pensamientos.

Answer 1

Si cae uno de la identidad y la asociatividad axiomas de la definición de grupo, se obtiene la definición de un quasigroup, y si queremos conservar la identidad axioma, la estructura se denomina un bucle. A priori, estos no tendrán que cumplir cualquier otra composición de las condiciones, pero algunos conocidos no asociativo quasigroups satisfacen estas condiciones.

Por ejemplo, el bucle $\mathbb{O} - \{0\}$ de distinto de cero octonions (en virtud de la multiplicación), satisface la identidad de Moufang: $$(a \circ b) \circ (c \circ a) = a \circ ((b \circ c) \circ a),$$ y llamamos a los bucles que satisfacer esta identidad de Moufang bucles. Todos los lazos de Moufang son alternativo, lo que significa que cualquier subloop generado por dos elementos es asociativa, o, equivalentemente, que el $a \circ a \circ b, a \circ b \circ a, b \circ a \circ a$ son todos sin ambigüedades. (Uno puede tan bien como para que estas identidades de mantener por $\mathbb{k}$-álgebra.

Como para álgebras de Lie (incluyendo el producto cruzado de $\mathbb{R}^3$), ellos también satisfacer una composición condición (lo que podemos reorganizar a través de como un producto de la regla para el mapa de $a \circ \, \cdot \,$) llama la identidad de Jacobi: $$a \circ (b \circ c) + b \circ (c \circ a) + c \circ (a \circ b) = 0.$$

Probablemente sin algunas hipótesis adicionales no es sensato "taxonomía" de álgebras de satisfacción de otro de sus otros 10 cuasi-axioma de asociatividad (sólo para el color, el número de generales quasigroups de orden $n$ crece muy rápido con $n$). Algunos de ellos interesantes condiciones que pueden ser descritos de forma intuitiva. Por ejemplo, la condición $$(a \circ b) \circ c = c \circ (a \circ b)$$ just says that $\texto{im } \circ$ is contained in the center of $(A, \circ)$; if $(A, \circ)$ is a quasigroup, then $\text{im }\circ =$, así que en ese caso la condición es equivalente a la conmutatividad.