Minimizar el producto de dos enteros positivos $a,b$ que satisfagan $2013+ a^2 = b^2$

Question

Supongamos que $2013+ a^2 = b^2$ , $a$ y $b$ siendo números naturales, cuál es el mínimo valor posible de su producto, $ab$ ?

He intentado manipulaciones algebraicas como mover $a^2$ al otro lado, es decir, $2013 =b^2 - a^2$ .

Ahora necesito encontrar dos números tales que su producto sea mínimo pero el cuadrado de uno sea seguramente mayor que $2013$ ... No he podido encontrar ninguna solución de este tipo. ¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Tenga en cuenta que $3\cdot 11\cdot 61=b^2-a^2=(b-a)(b+a)$ con números enteros positivos $a$ y $b$ . Esto no deja demasiadas posibilidades para $a$ y $b$ .

Edición: Si sigue sin encontrar una solución, pruebe con $2013+14^2=2209=47^2$ .

Answer 2

Escriba a $b=a+k$ . Entonces la ecuación se convierte en $$2013+a^2=a^2+2ak+k^2 \Rightarrow 2013 =k(2a+k)$$

Así $k$ es un divisor de 2013.

En realidad es la misma solución que la de Dietrich, sólo que escrita de otra manera.