Encontrar $a,b$ tales que la ecuación de $x^4+3x^3+6x^2+ax+b=0$ tiene más de 2 raíces reales. Solución usando álgebra

Question

Encontrar $a,b$ tales que la ecuación de $x^4+3x^3+6x^2+ax+b=0$ tiene más de 2 raíces reales.

He intentado hacerlo con el cálculo aunque, en el álgebra/polinomial capítulo... pero sin embargo no tengo mucha información utilizando el cálculo desde:

Deje $f(x) = x^4+3x^3+6x^2+ax+b$. Obtenemos: $f'(x) = 4x^3+9x^2+12x+a$ $f''(x)=12x^2+18x+12 >0 \forall x\in\mathbb{R}.$ No $f'(x)$ es estrictamente creciente de$-\infty$$\infty$, por lo que ha $1$ raíz. Vamos a llamar a que la raíz de $\alpha$ a continuación se obtienen $f'(x)<0\forall x\in(-\infty,\alpha)$$f'(x)>0\forall x\in(\alpha,\infty)$, $f(x)$ está decreciendo de $\infty$ $f(\alpha)$y, a continuación, el aumento de$f(\alpha)$$\infty$. así, obtenemos $2$ raíces sólo si $f(\alpha)<0$. A continuación, $f$ tiene más de 2 raíces reales $\forall a,b\in\mathbb{R}.$

¿Tiene usted alguna idea de cómo solucionar esto con el álgebra?

Answer 1

Nos muestran que $f$ tiene siempre en la mayoría de los dos raíces reales, independientemente de que el valor de $a$$b$.

El álgebra. Si el real cuártica $f$ tiene al menos $3$ bienes raíces, a continuación, todas sus raíces son reales, decir $x_1,x_2,x_3,x_4$. Entonces $$x_1+x_2+x_3+x_4=-3\quad\mbox{and}\quad x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=6.$$ Por lo tanto $$0\leq x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=(x_1+x_2+x_3+x_4)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)\\=(-3)^2-2\cdot 6=-3.$$ Contradicción.

Cálculo. Si $f$ tiene al menos $3$ distintas raíces reales, a continuación, por el Valor medio teorema $f'$ tiene al menos $2$ distintas raíces reales y $f''$ tiene al menos $1$ real de la raíz. Ahora, para todos los verdaderos $x$, $$f''(x)=12x^2+18x+12=6(2x^2+3x+2)>0$$ debido a $\Delta=3^2-3\cdot 2\cdot2=-3<0$. Contradicción.

Answer 2

Como los términos, incluso con exponentes nunca puede ser negativo, su único problema es el $x^3$. Acaba de establecer $a=0$ y hacer $b$ realmente grandes... Esto se me acaba de pensamiento rápido y sucio, podría haber alguna solución elegante - ¿se trate y de la trama de la función?