Condiciones tales que tomar global de las secciones de la línea de paquetes de viajes con tensor de producto?

Question

Vamos a trabajar con las variedades algebraicas sobre $k= \mathbb{C}$. Si es necesario, podemos asumir también la suavidad de las variedades.

Por supuesto que no es en general cierto que dadas dos de la línea de paquetes de $L, M$ en una variedad $X$, tenemos $$\Gamma(X,L \otimes M) = \Gamma(X,L)\otimes \Gamma(X,M),$$ un ejemplo fácil es $\mathcal{O}(1)$ $\mathcal{O}(-1)$ on proyectiva del espacio.

Me preguntaba si hay condiciones que uno puede colocar en la variedad o de los paquetes, de tal manera que la anterior igualdad se mantiene. Tal vez si la haces admitir global de las secciones, o incluso son generados por global secciones?

Como segunda cuestión, cuando sabemos que la dimensión de $\Gamma(X,L \otimes M)$, podemos traducir este de vuelta en la información sobre $\Gamma(X,L)$ o $\Gamma(X, M)$? (suponiendo que por el momento nada de lo que usted desea asumir.)

Sé que esta última pregunta es vaga, así como una respuesta, básicamente, cualquier observación general, o cualquier cosa en una dirección de una técnica para el cálculo sería genial!

Answer 1

El papel Global de las secciones y de tensor de productos de la línea de paquetes a través de una curva por David C. Butler cita y prueba algunos resultados interesantes en esa dirección. Por ejemplo:

En una suave curva proyectiva de género $g$ deje $L_1$ ser una línea de haz de grado $\geq 2g$ $L_2$ una línea de haz de grado $>2g$. A continuación, $\tau : \Gamma(L_1) \otimes \Gamma(L_2) \to \Gamma(L_1 \otimes L_2)$ es surjective (esto es debido a Mumford). Esto también se aplica al $L_1$ $L_2$ a nivel mundial se generan y $\mathrm{deg}(L_1) + \mathrm{deg}(L_2) \geq 4g+1$. El documento también contiene los refinamientos sobre la imagen de $\tau$ (Teoremas 1 y el Teorema 2 en la loc. cit). Las pruebas de uso de Riemann-Roch.

Si usted también está interesado en el vector de paquetes en lugar de sólo la línea de paquetes, vea el documento Sobre el producto tensor de secciones de vector de paquetes en una curva algebraica por M. Baiesi y E. Ballico, y las referencias allí.

No sé si algo es conocida más allá de las curvas.

Answer 2

Si $X=Spec(A)$ es cualquier afín esquema y si $L,M$ son arbitrarias de la línea de paquetes, luego de la canónica de mapa de $$\Gamma(X,L)\otimes_{\mathcal O_X(X)} \Gamma(X,M) \to \Gamma(X,L \otimes_{\mathcal O_X} M) \quad (\bigstar)$$ es siempre un isomorfismo.

De hecho, $L=\tilde P$ $M=\tilde{Q}$ están asociados a la proyectiva $A$-módulos de clasificar a una $P=\Gamma(X,L)$$Q=\Gamma(X,M)$.
Los morfismos $(\bigstar)$, entonces se convierte en $$P\otimes_A Q\to \Gamma(X,\tilde P \otimes_{\mathcal O_X} \tilde X) \quad (\bigstar \bigstar)$$
Para concluir, es suficiente para mostrar que $$\tilde P \otimes_{\mathcal O_X} \tilde X=\widetilde {P\otimes _A Q}\quad (KEY)$$ because then in $(\bigstar \bigstar)$ $$\Gamma(X,\tilde P \otimes_{\mathcal O_X} \tilde M)=\Gamma(X,\widetilde {P\otimes _A Q})=P\otimes_AQ$$ demasiado.
Y aquí está la buena noticia: Dieudonné y Grothendieck resultó $(KEY)$ para la mitad de hace un siglo!
Sólo echa EGA I, Corollaire (1.3.12 (i)), página 88.

Una Conjetura
Estoy bastante seguro de que el resultado correspondiente es válido para dos arbitraria holomorphic línea de paquetes en una Stein colector.