Un corolario de Hahn–Banach y teorema de una generalización de la función de límite de $\ell_\infty$

Question

Un corolario de Hahn–Banach teorema de los estados que

Deje $E$ ser una normativa espacio vectorial, $M$ un adecuado subespacio cerrado y $x \in E$. Si $d(x,M) = \delta > 0$, por lo que existe $f \in E'$ tal que $\|f\|=1$, $f(x)=\delta$ y $f(m)=0$ $\forall m \in M $.

Considere la posibilidad de $T: \ell_\infty \rightarrow \ell_\infty$ un delimitada operador lineal definido por $$T(x_1,x_2,x_3,\dots) = (x_2,x_3,\dots).$$

Deje $M=\{ x-T(x) : x \in \ell_\infty\}$, lo $M$ es un subespacio de $\ell_\infty$. Si $e=(1,1,1,\dots) \in \ell_\infty$, lo $d(e,M)=1>0$. Entonces, aplicando el corolario anterior en $\overline{M} $, $f \in \ell_\infty'$ tal que $\|f\|=1$, $f(e)=d(x, \overline{M}) = d(e, M) =1$ y $f(x)=0~\forall x \in M\subset \overline{M} $.

Yo era capaz de mostrar que $$f(x_1,x_2,x_3,\dots) = f(x_2,x_3,\dots) ~~\forall (x_n) \in \ell_\infty.$$ Besides that, we have that $\forall x = (x_n) \c = \{ (x_n) \in \ell_\infty : x_n \text{ es convergente} \}$ $$f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} x_n$$

Ahora, vamos a $x=(x_n), y=(y_n) \in \ell_\infty$ tal que $x_n \geq y_n$ $\forall n \in \mathbb{N}$. ¿Cómo puedo demostrar que $f(x) \geq f(y)$?

Answer 1

Voy a intentar responder a esta desde el real $\ell^\infty$ perspectiva. Dicen que tomar una secuencia $(x_n)$. A continuación, considere la secuencia $$y_n = e_n - \frac{x_n}{\|x_n\|},$$ donde $e_n = 1$ todos los $n$. Tenga en cuenta que $0 \le y_n \le 1$ todos los $n$, por tanto, por definición de la norma de $f$, $$f(y_n) \le 1 = f(e_n).$$ Reorganización, \begin{align*} &f\left(e_n - \frac{x_n}{\|x_n\|}\right) \le f(e_n) \\ \implies \, &f(e_n) - \frac{f(x_n)}{\|x_n\|} \le f(e_n) \\ \implies \, &\frac{f(x_n)}{\|x_n\|} \ge 0 \\ \implies \, &f(x_n) \ge 0. \end{align*} Por linealidad, esto implica lo que usted quiere que se muestra.

Answer 2

El hecho de que $\|f\|=f(e)$ implica que la positividad. La prueba no es específica para $\ell^\infty$, funciona en cualquier C$^*$-álgebra $A$.

Así que supongamos que $A$ C$^*$-álgebra, y $f:A\to\mathbb C$ un delimitada lineal funcional, con $\|f\|=f(e)$ donde$e$, es la unidad del álgebra.

En primer lugar, vamos a $a\in A$ ser selfadjoint ( $a^*=a$ )$\|a\|=1$. Para cualquier $n\in \mathbb N$, \begin{align}\tag1 |f(a)+in|&=|f(a+ine)|\leq\|a+ine\|=\|(a-ine)^*(a-ine)\|^{1/2}\\ \ \\ &=\|(a+ine)(a-ine)\|^{1/2}=\|a^2+n^2e\|^{1/2}\\ \ \\ &=(1+n^2)^{1/2}. \end{align} La última igualdad se debe a $a=a^*$, lo que implica que $a^2\geq0$. En particular $$ |\operatorname{Im} f(a)+n|=|\operatorname{Im} f(a)+)|\leq|f(a)+|\leq(1+n^2)^{1/2}. $$ Así $$ n-(1+n^2)^{1/2}\leq\operatorname{Im}f(a)\leq (1+n^2)^{1/2}-n. $$ Tomando $n$ arbitrariamente grande, obtenemos $\operatorname{Im}f(a)=0$. Si revisamos $(1)$ con este conocimiento, podemos obtener $$ (f(a)^2+n^2)^{1/2}\leq(1+n^2)^{1/2}, $$ por lo $f(a)^2\leq1$. Por lo $f(a)$ es real, y $-1\leq f(a)\leq 1$.

Ahora si $b$ es positivo con $0\leq b\leq e$, los elementos $2b-e$ es selfadjoint y $-e\leq 2b-e\leq e$, lo $\|2b-e\|\leq 1$. Por lo anterior $$-1\leq f(2b-e)=2f(b)-1\leq 1,$$ que podemos reescribir como $$ 0\leq f(b)\leq 1. $$ En particular,$f(b)\geq0$, lo $f$ es positivo.