Probar, si $h(u,v)=f(\sin u + \cos v)$ $h_u \sin v +h_v \cos u = 0.$

Question

Probar:

Si $$h(u,v)=f(\sin u + \cos v)$$ then $$h_u \sin v +h_v \cos u = 0.$$

Establecimiento $f(\sin u + \cos v)= f(x)$,

$$h_u = \frac{\partial h}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{d x}{d u} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \cos u,$$

$$h_v = \frac{\partial h}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{d x}{d v}= \frac{\partial f}{\partial x} \cdot (- \sin v);$$

así que a probar

$$h_u \sin v +h_v \cos u = 0 $$

observamos que

$$ \left( \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \cos u \right) \sin v + \left( \frac{\partial f}{\partial x} \cdot (- \sin v) \right) \cos u =0, $$

$$\frac{\partial f}{\partial x} \cdot 0 = 0 $$ $$\text{True}$$

.

Es esta la manera correcta de proceder? ¿Hay algo para agregar a esto? Son la notación entre parcial y derivados de la correcta?

El aporte se agradece mucho

Answer 1

Si usted está tratando de demostrar $A=B,$, entonces NO es correcto el proceder de la siguiente manera. $$ A = B $$ Por lo tanto $$ C = D $$ (desde $C$ es lo mismo que $A$ $B$ es lo mismo que $D$). Por lo tanto $$ E=0 $$ (por la misma razón). $$ \text{True} $$ He visto a los estudiantes el formato de este tipo de cosas cientos de veces. Nunca he oído hablar de su ser enseñado, sin embargo, persiste.

Una manera de demostrar $A=B$ es escribir $$ A = X = Y = Z = \cdots = P = Q = R = S = B. $$ Otra forma es escribir $$ A = B \text{ si bla, bla, bla, bla } \ldots $$ y, a continuación, intente probar, bla, bla, bla, bla.

Así que usted podría escribir esto: $$ h_u = \frac{\partial h}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{d x}{d} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \cos u $$ $$ h_v = \frac{\partial h}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{d x}{d v}= \frac{\partial f}{\partial x} \cdot (- \pecado v) $$ Por lo tanto $$ h_u \pecado v + h_v \cos u =\left( \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \cos u\right) \pecado v + \left( \frac{\partial f}{\partial x} \cdot (- \pecado v) \right) \cos u =0. $$

Answer 2

De cerca!

El procedimiento es esencialmente correcta, pero . . .

Hay un par de mejoras que se han hecho, a saber: es probable que sea mejor, como Michael Hardy observado, no el resultado deseado antes de que la prueba sin algunas palabras explicativas no sea que su razonamiento parece circular. Mi otro comentario va para el

notación: lo más probable es que sea mejor escribir

$\dfrac{df}{dx} \dfrac{\partial x}{\partial u}, \tag 1$

en lugar de

$\dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{dx}{du}, \tag 2$

etc., desde $f(x)$ es una función de una sola variable $x$, que a su vez depende de dos variables$u$$v$; la versión revisada de la notación que he presentado aquí, de acuerdo con la costumbre de uso de $d/dx$ versus $\partial/\partial u$ y así sucesivamente.