Hilbert acción de la invariancia bajo cambios de coordenadas

Question

En un artículo, al considerar la invariancia de Hilbert de acción en el marco de coordinar cambiar esta fórmula aparece por cómo la métrica cambios

$$\delta{}g_{\mu\nu}=\partial_{\mu}\xi^{\rho}g_{\rho\nu}+\partial_{\nu}\xi^{\rho}g_{\rho\mu}+\xi^{\rho}\partial_{\rho}g_{\mu\nu}.$$

Tengo (tal vez ingenuamente) trató de usar el tensor de coordinar el cambio de fórmula considerando la $x^{\alpha}~\to~ x'^{\alpha}=x^{\alpha}+\xi^{\alpha}$ (fórmula supuse, no está especificado en el artículo que estoy leyendo), pero no quiero llegar allí.

Así que, ¿cómo esta fórmula?

Answer 1

Usted está en el camino correcto.

Sugerencias:

1. Recuerda que en virtud de un diffeomorphism $f$, el tensor de la transformación ley nos dice que la métrica se transforma a medida $g\to g_f$ donde $$\begin{align} (g_f)_{\mu\nu}(f(x)) = g_{\alpha\beta}(x)\partial_\mu (f^{-1})^\alpha(f(x))\partial_\nu (f^{-1})^\beta(f(x)) \end{align}$$ que, el envío de $x\to f^{-1}(x)$ puede ser re-escrita como $$\begin{align} (g_f)_{\mu\nu}(x) = g_{\alpha\beta}(f^{-1}(x))\partial_\mu (f^{-1})^\alpha(x)\partial_\nu (f^{-1})^\beta(x). \tag{%#%#%} \end{align}$$

2. Considere la posibilidad de un infinitesimal diffeomorphism (la física de hablar por un suave, la familia de un parámetro de diffeomorphisms que se inicia en la identidad) $$\begin{align} f(x)=x - \xi(x) + O(\xi^2) \end{align}$$

3. Observe que $$\begin{align} f^{-1}(x) = x+\xi(x) +O(\xi^2) \end{align}$$

4. Enchufe esta en el lado derecho de la $\star$ y Taylor ampliar acerca de $(\star)$ a de primer orden.

5. Recordemos que $\xi=0$, y comparar con la expresión que escribió.

Adenda. (2 de abril de 2014) Observe que la primera transformación de la ley escribí es una de las más matemáticamente explícito de la versión de $$\begin{align} (g')_{\mu\nu}(x') = g_{\alpha\beta}(x) \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}(x')\frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu}(x') \end{align}$$ ya que si escribimos $\delta g = g_f - g + O(\xi^2)$ $x' = f(x)$ así, en particular, $$\begin{align} \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}(x') = \frac{\partial(f^{-1})^\alpha}{\partial x'^\mu}(f(x)) = \partial_\mu(f^{-1})^\alpha(f(x)) \end{align}$$ donde en la última igualdad, simplemente he suprimido el primer en la derivada de la notación; un derivado $x = f^{-1}(x')$, por ejemplo, significa "tomar la derivada con respecto al $\partial_0$ argumento de la función." Aunque normalmente estamos etiqueta el cero argumento de $0^\mathrm{th}$ con la carta de $f^{-1}$ porque estamos pensando en $x'^0$ como la transformación que los mapas nos de la "cebado" las coordenadas de la "imprimado" coordenadas, pero esto es sólo un muñeco de etiqueta, y no estrictamente necesario tan larga como la derivada nos dice que el argumento de la función que se están diferenciando con respecto a.

Answer 2

Escribir $$g^\mathfrak{ab} = x^\mathfrak{a}_\mu x^\mathfrak{b}_\nu g^{\mu\nu}.$$ Considerar todo como una función de la ${x'} = x + \xi$ y Taylor ampliar a la primera orden.