Ayuda con la esperanza condicional en el círculo

Question

Deje $p >1$ un entero, $X = \mathbb{R} / \mathbb{Z}$ $\mu\colon \mathcal{B}\to [0,1]$ una medida de probabilidad sobre los subconjuntos de Borel $X$ $T \colon X \ni x \to (px \text{ mod }1)$ invariante. Necesito encontrar una fórmula para $$E_\mu(f \ | \ T^{-n}\mathcal{B})$$ para todos los $f\in L^1(\mu)$.

Lo único que sé es que $E_\mu(f \ | \ T^{-n}\mathcal{B}) = g \circ T^n$ para algunos medibles función de $g \colon X \to \mathbb{R}$.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Para cada $x$$X$, vamos a $X_n(x)=\{y\in X\mid T^ny=x\}$, entonces, si $\mu$ es la medida de Lebesgue, $$E_\mu(f \ | \ T^{-n}\mathcal{B})(x) =\frac1{\#X_n(x)}\sum_{y\in X_n(x)}f(y),$$ that is, $$E_\mu(f \ | \ T^{-n}\mathcal{B})(x)=\frac1{p^n}\sum_{k=1}^{p^n}f\left(\frac{x+k}{p^n}\right).$$

Answer 2

Dicha fórmula no existe en ninguna "resonable manera", ya que este valor esperado es, básicamente, el valor límite para que el ergodic promedios $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}f(p^{n}.x)$ convergen.

Rompiendo el espacio de acuerdo a la ergodic descomposición de $\mu$ el rendimiento adecuado de la descomposición del valor esperado como integral sobre la ergodic medidas. En el caso de la medida de Lebesgue (que puede o no puede estar presente en la descomposición), se obtiene la fórmula que Hizo, escribió (a la que convergen a la integral de una.s.). En otros casos, es difícil saber (e incluso imposible) debido a la Bernoullicity del sistema de $(\mathbb{T}^1,\times p)$, y la gran cantidad de invariantes medidas que existe (en el principio, usted puede cocinar una medida de cualquier dimensión de Hausdorff).

Sin embargo, en cada ergodic componente, la función debe ser constante como se $\times p$-invariante de la función.

Answer 3

En el caso general, donde no tenemos más información de $\mu$, aún se puede decir algo.

Escribir $X$ como finito distinto de la unión de $X = \cup_i X_i$, en el que la restricción de $T$ $X_i$es un bijective y bimeasurable mapa de $T_i : X_i \to X$ es decir $X_i = [\frac{i}{p}, \frac{i+1}{p})$$i=0, \ldots, p-1$.

Deje $\mu_i$ ser la restricción de $\mu$$X_i$, e $\nu_i$ el empuje hacia delante de $\mu_i$ bajo$T_i$$\nu_i(A) = \mu(T^{-1}(A) \cap X_i)$.

$\nu_i$ es absolutamente continua con respecto a $\mu$, y se denota por a $h_i = \frac{ d\nu_i}{d\mu}$ su Radón-Nykodim derivados.

A continuación, ajuste de $g = \sum_i h_i . (f \circ T_i^{-1})$,$E_\mu(f \ | \ T^{-1}\mathcal{B}) = g \circ T$.

Al $\mu$ es Lebesgue, tenemos $\nu_i = \frac 1 p \mu$, de ahí la fórmula dada en que la respuesta a la corrección que he señalado en el comentario.

PS : El mismo argumento funciona para una clase más amplia de los mapas, y para las medidas que no son necesariamente invariable, sino que simplemente no singular.