¿Cuál es el grupo de automorfismos de $\mathbb{R}$ bajo la suma?

Question

No sé mucho acerca de los grupos infinitos. $\mathbb{R}$ es especialmente diferente de otros en los que he trabajado antes; no parece tener ningún generador como lo tiene $\mathbb{Z}$, o podríamos decir que cada elemento no trivial genera un subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}$.

Intenté encontrar el grupo de automorfismos de $\mathbb{R}$. Solo hay tres tipos de operaciones de automorfismo que podemos realizar en $\mathbb{R}$:

1. Identidad: $\psi_1: x \mapsto x$, $\psi_1 = \mathrm{id}$
2. Reflexión: $\psi_2:x \mapsto -x$, $\psi_2 \circ \psi_2 = \mathrm{id}$
3. Translación: $\phi_r:x \mapsto x+r$, $r \in (-\infty, \infty) = \mathbb{R}$

Por lo tanto, $\mathrm{Aut}(\mathbb{R}) = \mathbb{R} * \mathbb{Z}_2$.

¿Es correcto mi razonamiento?

Answer 1

No, no es correcto; en primer lugar, la traducción no es una automorfismo de grupo de $\mathbb{R}$ (¿quizás quisiste decir dilatación?) Pero hay muchos más automorfismos que estos; de hecho, pensando solo de manera aditiva, $\mathbb{R}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ cuya dimensión es el continuo, y debería quedar claro que hay muchas formas de construir aplicaciones lineales $\mathbb{Q}$-lineales de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ mismo (que, en particular, serán homomorfismos de grupo).

Sin embargo, creo que si solo te interesan los automorfismos continuos, entonces la dilatación (y reflexión y la identidad, que son casos de dilatación) son los únicos.

Answer 2

No, tu razonamiento no es correcto. Para empezar, la traducción no es un automorfismo: ni siquiera mapea $0$ a $0. Por otro lado, ni siquiera has intentado explicar por qué deberían ser todos los automorfismos. De hecho, hay muchos más, pero incluso si no los hubiera, esto sería una gran falla en tu argumento.

Answer 3

Nota que $f(x)=x+r$ es un automorfismo significa que $f(1)+f(-1)=f(0)=0$, por lo tanto $1+r+(-1)+r = 2r = 0$ así que $r=0$. Por lo tanto, ninguna traducción es un automorfismo del grupo aditivo de $\Bbb R$. Pero es cierto que las traducciones son automorfismos del conjunto ordenado $\Bbb R.

Sea $f\colon\Bbb R\to\Bbb R$ un automorfismo del grupo aditivo.

Por inducción se puede demostrar que si $f(1)=r$ entonces $f(q)=r\cdot q$ para todo número racional $q$.

Si requerimos que $f$ sea continua entonces esto es suficiente para mostrar que $f(x)=r\cdot x$ para todo $x\in\Bbb R. Pero si no requerimos esto, entonces podemos generar muchos más automorfismos usando el axioma de elección.

El método es simple, considera $\Bbb R$ como un espacio vectorial sobre $\Bbb Q$ y usando el axioma de elección deja que $H$ sea una base de Hamel para $\Bbb R$ sobre $\Bbb Q$, cualquier permutación de $H$ induce un automorfismo de $\Bbb R$ como un espacio vectorial, que también es un automorfismo del grupo aditivo.

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