Demuestra que la gráfica de una función medible es medible.

Question

Cómo puedo demostrar que la gráfica de una función medible es medible. Recuerdo que la gráfica de $f:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ $$\Gamma(f)=\{(x,f(x))\mid x\in \mathbb R\}.$$

Intento

1) si $f=1_{[a,b]}$ entonces $\Gamma(f)=[a,b]\times \{1\}\cup[a,b]^c\times \{0\}$ y por lo tanto $\Gamma(f)$ es medible.

2) Si $f$ es una función escalonada, lo mismo.

3) Si $f\geq 0$ entonces hay una función de paso $f_n$ s.t. $f_n\nearrow f$ . Ahora, me gustaría tener $\Gamma(f)=\bigcup_{n\in\mathbb N}\Gamma(f_n)$ pero, por desgracia, no parece ser el caso. ¿Alguna idea?

4) Lo mismo para $f$ medible. Tengo que $f=f^+-f^-$ pero no creo que $\Gamma(f)=\Gamma(f^+)\cup \Gamma(f^-)$ . ¿Alguna idea?

Answer 1

Una pista:

1. Demuestre que el mapeo $$(x,y) \mapsto T(x,y) := f(x)-y$$ es medible.
2. Concluir que $\Gamma(f) = T^{-1}(\{0\})$ es medible.

Answer 2

Sugerencia

Se puede observar que $$\Gamma(f)=\bigcap_{n\in\mathbb N}\bigcup_{m\in\mathbb Z} f^{-1}\left(\left[\frac{m}{2^n},\frac{m+1}{2^{n}}\right]\right)\times \left[\frac{m}{2^n},\frac{m+1}{2^{n}}\right].$$