Se lanza una moneda diez veces. Cuál es la probabilidad de que las tres primeras sean caras si se lanza un número igual de caras y colas?

Question

Entiendo la pregunta pero no estoy seguro de cómo resolverla. Por ejemplo, si lanzamos HHHTTTTT entonces los tres siguientes deben ser caras debido a la pregunta. Sin embargo, esto parece contradictorio. Creo que hay $2^{10}$ posibles cadenas, pero no estoy seguro de cómo contar todas las posibles cadenas que comienzan con HHH.

Answer 1

Entiendo la pregunta pero no estoy seguro de cómo resolverla. Por ejemplo, si lanzamos HHHTTTTT entonces los tres siguientes deben ser caras debido a la pregunta. Sin embargo, esto parece contradictorio. Creo que hay $2^{10}$ posibles cadenas, pero no estoy seguro de cómo contar todas las posibles cadenas que comienzan con HHH.

No entiendes la pregunta.

Lo es: Cuando teniendo en cuenta los recuentos de caras y colas resultantes de los lanzamientos, ¿cuál es la probabilidad de que el orden de los resultados tiene cabezas en los tres primeros lugares?

Aviso: No tenemos que preocuparnos por la probabilidad de que alguna de las tiradas resulte cara o cruz. Ni siquiera es necesario que la moneda sea justa; mientras se utilice la misma cada vez (los lanzamientos tienen distribuciones idénticas e independientes), el sesgo no tiene ningún impacto en este pregunta.

Se lanza una moneda diez veces. Cuál es la probabilidad de que las tres primeras sean caras si se lanza un número igual de caras y colas?

Un problema equivalente es: Cuando se barajan equitativamente 5 cartas rojas y 5 negras, ¿cuál es la probabilidad de que las tres primeras sean rojas?

Hay $\binom{5}{3}$ formas (equiprobables) de seleccionar tres de las cinco tarjetas rojas de $\binom{10}{3}$ formas de seleccionar tres de las diez cartas.

$$\frac{\dbinom{5}{3}}{\dbinom{10}{3}}=\cfrac{\;\cfrac{5!}{3!2! }\;}{\;\cfrac{10!}{3!7!}\;}=\dfrac{5! \; 7!}{2! \; 10!} =\frac{1}{12}$$

---

Alternativamente: hay $\binom{7}{2}$ formas de ordenar las tarjetas/monedas de manera que las tres primeras sean rojas/cabeza, de $\binom{10}{5}$ formas de ordenarlas en total. Divide y calcula para obtener el mismo resultado.

Answer 2

Hacemos un cálculo formal de la probabilidad condicional.

Dejemos que $A$ ser el evento el primero $3$ los lanzamientos son cabezas, y deja $B$ sea el caso de que tengamos el mismo número de caras y de colas en la $10$ lanzamientos. Queremos $\Pr(A|B)$ . Por la definición de probabilidad condicional, tenemos $$\Pr(A|B)=\frac{\Pr(A\cap B)}{\Pr(B)}.$$ Calculamos las dos probabilidades de la derecha.

Primero calculamos $\Pr(B)$ . La probabilidad de $5$ cabezas y $5$ colas en $10$ lanzamientos es $\frac{\binom{10}{5}}{2^{10}}$ .

A continuación calculamos $\Pr(A\cap B)$ . La probabilidad de que el primer $3$ los lanzamientos son cara es $\frac{1}{2^3}$ . Dado que el primer $3$ lanzamientos fueron cara, la probabilidad de $5$ cabezas y $5$ colas es la probabilidad de $2$ cabezas en el último $7$ lanzamientos. Esto es $\frac{\binom{7}{2}}{2^7}$ . De ello se desprende que $\Pr(A\cap B)=\frac{\binom{7}{2}}{2^{10}}$ .

Por último, divide.

Answer 3

Hay $\frac{10!}{5!5!}$ formas de obtener un número igual de caras y colas. Las tres primeras están fijadas en cabezas por lo que necesitamos 2 cabezas más y 5 colas en los siete lanzamientos restantes esto se puede hacer en $\frac{7!}{2!5!}$ formas. Por lo tanto, la probabilidad es $$ {\frac{7!}{2!5!}\over\frac{10!}{5!5!}} = \frac{1}{12} $$

Answer 4

Si $A$ significa tres cabezas al principio, y $B$ significa $5$ cabezas y $5$ colas, queremos calcular $$p(A/B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}$$

Y $$p(A\cap B)=\frac{\binom72}{2^{10}}$$ $$p(B)=\frac{\binom{10}5}{2^{10}}$$