Cíclico subgrupo de un grupo cíclico

Question

Hay alguna que no trivial ejemplo de subgrupo de un grupo cíclico?

Cada subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. No pude encontrar ninguna información no trivial ejemplos de ello, ya que cada subgrupo tendría el generador y si el generador está allí, a continuación, todo el grupo está allí.

Answer 1

No cada subgrupo tiene para contener el generador. Considerar el grupo cíclico de orden $4$, que se denota como $\{1,a,a^2,a^3\}$. A continuación, $\{1,a^2\}$ es un buen subgrupo.

Más generalmente, si $\langle a \rangle$ es un grupo cíclico de orden $x$ $d$ divide $x$, tenemos un subgrupo cíclico $\langle a^d \rangle$.

Answer 2

Si su grupo es $G=(\mathbb{Z},+)$, el generador es $1$. Si su subgrupo es $H=(2\mathbb{Z},+)$, el generador es $2$ que no es el generador de $G$.