Deje $\Gamma$ ser finito índice subgrupo de $\Gamma(1)=SL_2(\mathbf{Z})$ $f$ modular la función de $\Gamma$. Por esto me refiero a un meromorphic función definida en la mitad superior del plano -$f: \mathfrak{h} \to \mathbf{C}$, la satisfacción de una condición de crecimiento en el infinito, que es invariante por $\Gamma$: por cada $\gamma \in \Gamma$, $f(\gamma(\tau))=f(\tau)$.
Mi pregunta es: ¿qué se puede decir acerca de la acción de la plena modular grupo$\Gamma(1)$$f$? Para $\gamma \in \Gamma(1)$, podemos expresar siempre la función de $\tau \mapsto f(\gamma(\tau))$ en términos de $f$?
Tomemos, por ejemplo, el sistema modular de la función lambda $\lambda$. Es una en todas partes holomorphic modular la función (o mejor, de forma modular de peso cero) por $\Gamma(2) = \{\gamma \in \Gamma(1) \mid \gamma \equiv id \mod 2\}$. Se puede probar que \begin{align*} \lambda(-1/\tau) = 1-\lambda(\tau) \end{align*} y \begin{align*} \lambda(\tau +1 ) = \frac{\lambda(\tau)}{1-\lambda(\tau)} \end{align*} por lo que sabemos realmente cómo $\lambda$ se transforma por la $\Gamma(1)$, y no sólo a $\Gamma(2)$. Me estoy preguntando si esto es general.
