¿Hay una transformación lineal de$\Bbb R^2$ a$\Bbb R^2$ que está representada por una matriz diagonal cuando se escribe con respecto a cualquier base fija?
Si existe tal transformación lineal$T$, entonces su vector propio debe ser la matriz de identidad para cualquier base fija$\beta$ de$\Bbb R^2$.
Entonces, no veo, si esto es posible o no.
Si $T$ es diagonal con respecto a cualquier base, entonces cada vector distinto de cero es un autovector, ya que cualquier vector distinto de cero se puede extender a una base. Entonces debe de ser que todo espacio vectorial es un subespacio propio correspondiente al mismo autovalor, ya que si dos vectores se vectores propios con diferentes valores propios, entonces la suma no sería un autovector. Desde cualquier matriz actúa sobre un subespacio propio $E$$\lambda I$, entonces lo que sigue es $T = \lambda I$ donde $\lambda$ es algunos escalares.
Por lo que la matriz de identidad funciona, pero lo hace cualquier múltiplo de la identidad.
Dado que$T$ es diagonal en al menos una base,$T$ tiene dos valores propios$a$ y$b$ y dos vectores propios linealmente independientes$x$ y$y$ tales que$Tx=ax$ y$Ty=by$.
Si$a\ne b$,$x+y$ no es un vector propio, la matriz de$T$ en la base$(x+y,y)$ no es diagonal. Esto es absurdo. Por lo tanto,$a=b$, es decir,$T=aI$.
En la otra dirección, si$T=aI$ para algunos$a$, entonces su matriz en cualquier base es diagonal.
Si la transformación de $T$ es representado por la matriz de $A$ base $\mathcal{A}$, entonces es representado por la matriz de $PAP^{-1}$ base $\mathcal{B}$ donde $P$ es invertible de cambio de base de la matriz.
Supongamos que $T$ está representado por una matriz diagonal en cualquier base. Deje $P$ ser arbitraria invertible la matriz y $A$ cualquier matriz diagonal:
$$P = \left[\begin{array}{cc} p_{1,1} & p_{1,2} \\ p_{2,1} & p_{2,2} \end{array}\right] \text{ and } A = \left[\begin{array}{cc} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{array}\right].$$
Ahora, para calcular
$PAP^{-1} = \dfrac{1}{\det P} \left[\begin{array}{cc} b_{1,1} & b_{1,2} \\ b_{2,1} & b_{2,2} \end{array}\right]$, donde las entradas $b_{i,j}$ son polinomios en el $p_{i,j}$ $d_i$ variables.
Para esta nueva conjugada de la matriz a ser diagonal, tenemos las siguientes dos ecuaciones. (Cheque).
$$\begin{align*} 0 = b_{1,2} &= (d_2 - d_1)p_{1,1}p_{1,2} \\ 0 = b_{2,1} &= (d_1 - d_2)p_{2,1}p_{2,2} \end{align*}$$
Desde $P$ es arbitrario, la única manera de que estas ecuaciones para siempre estar satisfecho es de $d_1 = d_2$. En otras palabras, la matriz original $A$ fue un escalar múltiples de la identidad.
$$A = d \cdot \operatorname{Id}_2 = \left[\begin{array}{cc} d & 0 \\ 0 & d \end{array}\right].$$
Sí: De manera más general: deje $R$ ser un unital anillo, y luego la de una matriz de $Z\in M_{n\times n}(R)$ los siguientes son equivalentes:
Prueba (suponiendo que el 4 $\Leftrightarrow 2$ que se puede encontrar en un texto sobre algebraica de los grupos, o afín grupo de esquemas):
Cualquier elemento $Z$ de los centro de $M_{n\times n}(R)$ a continuación, responde:
\begin{equation} (\forall P \in GL_n(R)) \mbox{ } Z= IZ=PP^{-1}Z = PZ P^{-1}. \end{equation}
Sin embargo, desde el centro de la $M_{n\times n}(R)$ es la diagonal del subgrupo de $GL_n(R)$ y, ya que cualquier cambio de base de a $R^n$ es la misma que la conjugación de algunos $P\in GL_n(R)$.
Por lo tanto, una matriz es la misma en cualquier base de $R^n$ si y sólo si es invariante con respecto a cualquier conjugación por algunos $P\in GL_n(R)$ si y sólo si está en el centro de la $GL_n(R)$ si y sólo si es diagonal es cierta si y sólo si a es una matriz escalar.
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