¿Qué es? $S^2 \times S^2$ ?

Question

¿Qué significa el producto de estos espacios? Realmente no puedo entenderlo ni hacerme a la idea. ¿Para qué se hace?

Si alguien puede ayudar a visualizarlo o aportar una intuición, sería genial.

Answer 1

Como señaló @Lee Mosher, la definición del producto cartesiano,

$$ X \times Y = \{(x,y): x \in X, y \in Y\}$$

Bueno, ya que estamos haciendo topología, una definición más geométrica sería beneficiosa. Por lo tanto, se puede pensar en el producto de dos maneras siguientes,

1) En cada punto $x$ Hay una copia de $Y$

2) En cada punto $y$ Hay una copia de $X$

¿Por qué ayuda esto? Piensa en $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ . Si pensamos en esto como una unión $ \cup_x\{x\} \times \mathbb{R}$ en el plano, entonces vemos un montón de copias de líneas, es decir, el plano se construye a partir de líneas en dirección horizontal o vertical. De aquí se desprende la idea de que las fibras/paquetes se extienden. Por lo tanto, el plano se realiza como un haz de líneas sobre $\mathbb{R}$ con fibras $X$ o $Y$ dependiendo de cómo elijas ver las cosas.

$\textbf{Addition}$ : Además, los productos cartesianos de los colectores son la forma más sencilla de obtener un nuevo colector. Hay que pensar un poco cuando se trata de obtener nuevos colectores mediante cocientes, por ejemplo $\mathbb{R}/ \mathbb{Z} \cong S^1$ . Antiguo colector $\mathbb{R}$ y nos dan el nuevo $S^1$ definiendo una relación de equivalencia.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Los espacios de los productos son muy fáciles de entender. Son espacios formados por otros múltiples espacios, en cada uno de los cuales se puede elegir un punto.

Por ejemplo, en este ejemplo, tenemos dos esferas $S^2$ . Un punto en este espacio producto es una selección de un punto en cada esfera.

Por una intuición: tal vez queramos plantar una bandera en Marte y en la Luna. ¿En qué lugar de las superficies plantaremos estas banderas? Tenemos dos esferas, en cada una de las cuales podemos elegir un punto de la superficie. Este espacio de elección es $S^2 \times S^2$ .

Answer 3

Mi asesor dibujaba un rectángulo en la pizarra y lo rotulaba $E$ una línea horizontal paralela al borde inferior y etiquétala $M$ y decir: "Que $p:E \to M$ ser un bulto principal".

Con ese espíritu (pero adornado para ilustrar), $S^{2} \times S^{2}$ se ve así:

Cada línea horizontal de la cuadrícula representa un $2$ -que se proyecta a un solo punto de la esfera de la izquierda. Cada línea vertical representa un $2$ -esfera que se proyecta a un punto de la esfera inferior.

Si uno mira fijamente durante el tiempo suficiente (quizás durante un período de meses o años) diagramas de este tipo, desarrolla un grado de "intuición geométrica" que puede incluir la capacidad de ver (en orden aproximadamente creciente de familiaridad):

• Cómo dos de los $2$ -Las esferas descritas anteriormente son disjuntas o se cruzan en un punto;

• Cómo un piso ordinario $2$ -tori están contenidos en el producto;

• Cómo $S^{2} \times S^{2}$ se obtiene del producto cartesiano de dos $2$ -(cuya frontera comprende dos toros sólidos que se cruzan a lo largo de un $2$ -toro "esquina") pellizcando la esquina a un solo punto mientras se "cierra" cada toro sólido colapsando su factor de círculo;

• Cómo obtenerlo cerrado $4$ -del plano proyectivo complejo a través de transformaciones birracionales (soplando dos puntos $p$ y $q$ y luego soplar la transformación adecuada de la línea a través de $p$ y $q$ );

y así sucesivamente.